Question

3．如图所示，用一根长为L=1.0m不可伸长的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A，在O点的正下方钉一钉子B，质量为m=lKg的小球由水平位置静止释放，取g=l0m/s²．
（1）在O点的正下方如果没有钉子B，小球摆到最低点D时，小球速度多大？（6分）细绳的拉力是多大？
（2）如果细绳的最大承受力为135N，要使细绳碰到B后小球能以B为圆心做完整的圆周运动，求钉子B离O点的可能距离．

Answer 1

分析 （1）由静止释放小球，细绳的拉力不做功，根据动能定理列式可求得小球摆到最低点D时的速度大小；在最低点D，由重力和细绳拉力的合力提供小球的向心力，根据牛顿第二定律求解细绳的拉力大小．
（2）当细绳的拉力达到最大值135N时，点B离O最远，在最低点，由牛顿第二定律和向心力公式求B离O点的最大距离．小球刚好能过最高点C时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律和动能定理结合求解点B离O是最近的距离，从而得到钉子B离O点的可能距离范围．

解答 解：（1）从A至D，应用动能定理，得：
mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
变形得：v_D=$\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×1}$=2$\sqrt{5}$m/s
由圆周运动的规律及牛顿第二定律，有：
T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
代入数据，运算得：T=30N
（2）①当T为135N时，点B离O最远，设为S₁，在最低点，由牛顿第二定律有：
T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L-{S}_{1}}$
代入数值计算得：S₁=0.84m
②设点B离O是最近的距离为S₂，此时小球刚好能过最高点C．
在C点有，由牛顿第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{L-{S}_{2}}$
从D到C，应用动能定理有：
-mg•2（L-S₂）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
由以上两式得：S₂=0.6m
因此，B离O点的距离可能为0.6m至0.84m．
答：（1）小球摆到最低点D时，小球速度是2$\sqrt{5}$m/s，细绳的拉力是30N．
（2）B离O点的距离可能为0.6m至0.84m．

点评 本题中要注意细绳碰到钉子前后转动半径的变化，再由向心力公式分析绳子上的拉力．小球摆到最低点虽与钉子相碰，但没有能量的损失．要抓住圆周运动最高点的临界条件：重力等于向心力．