Question

7．在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一象限内存在一个垂直于xOy平面但方向未知的圆形匀强磁场，圆形磁场与x轴相切于B点，与y轴相切于A点．第四象限内存在匀强磁场，方向如图所示，第一、四象限内匀强磁场的磁感应强度大小相等．现有一个质量为m、电荷量为q的带电粒子在该平面内从x轴上的P点，以垂直于x轴的初速度v₀进入匀强电场，恰好经过y轴上的A点且与y轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好经过x轴上的B点进入下面的磁场．已知OP之间的距离为d，不计粒子的重力，求：
（1）A点的坐标；
（2）第一象限圆形匀强磁场的磁感应强度B₀的大小及方向；
（3）带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子垂直进入匀强电场中做类平抛运动，竖直方向做匀速直线运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，运用平均速度分别表示水平位移和竖直位移．将粒子在A点的速度进行分解，得到两个分速度的关系，即可求出O点到A点的距离．
（2）画出带电粒子在磁场中运动的轨迹．由几何关系求出粒子圆周运动的半径，由牛顿第二定律求解B₀的大小及方向．
（3）可求出圆周运动的周期，根据轨迹所对的圆心角求出粒子在磁场中运动的时间．粒子在电场中竖直方向做匀速直线运动，由A的纵坐标和初速度可求出时间．即能求得总时间．

解答 解：（1）设A点的纵坐标为h，到达A点的水平分速度为v_x，则由类平抛运动的规律可知
竖直方向匀速直线运动，有：h=v₀t
水平方向匀加速直线运动平均速度为：$\overline{v}$=$\frac{0+{v}_{x}}{2}$
d=$\frac{1}{2}$v_xt
根据速度的矢量合成有：tan45°=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$
可得：h=2d
（2）粒子在磁场中向下偏转，由左手定则可知，磁场的方向向外；
粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，设粒子在磁场中运动的半径为R，周期为T．则由几何关系可知：R=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$d=$\sqrt{2}$d
带电粒子进入磁场时的速度大小为：v=$\sqrt{2}$v₀
则由牛顿第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$
（3）粒子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πd}{{v}_{0}}$
设粒子在电场中的运动时间为t₁，有：t₁=$\frac{2d}{{v}_{0}}$
设粒子在磁场中的运动时间为t₂，由图可知，粒子在两处磁场中运动的时间为：t₂=$\frac{1}{2}$T+$\frac{3}{4}$T=$\frac{7}{4}$T=$\frac{7πd}{2{v}_{0}}$
则总时间为：t=t₁+t₂=$\frac{（4+7π）d}{2{v}_{0}}$
答：（1）A点的坐标为（0，2d ）；
（2）第一象限圆形匀强磁场的磁感应强度B₀的大小$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，方向垂直于纸面向外；
（3）带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x轴的时间是$\frac{（4+7π）d}{2{v}_{0}}$．

点评 对于类平抛运动，采用运动的分解法研究，要抓住两个分运动的等时性．对于粒子在磁场中的圆周运动，画轨迹是关键．