Question

2．如图所示，质量为m的带正电小球从粗糙、绝缘固定斜面顶端由静止下滑到底端，其加速度为$\frac{1}{5}$g．已知小球带电量q，斜面倾角α=37°，长为L．在斜面空间所在竖直平面内（图示平面）加一匀强电场，仍使球从斜面顶端由静止下滑到底端，但其加速度变为$\frac{6}{5}$g．
（1）若电场方向沿斜面向下，则电场力做功为多少？
（2）若电场方向水平向左，则电场力做功多少？
（3）若要使电场力做功最小，则电场强度的大小和方向？该最小功为多少？

Answer 1

分析 （1）电场力沿斜面向下时，压力和摩擦力不变，分别对施加电场前后根据速度和位移关系以及动能定理列式，联立即可求得电场力所做的功；
（2）对不加电场过程受力分析，根据牛顿第二定律可求得动摩擦因数，再对施加电场过程分析，根据牛顿第二定律列式可求得电场力，再根据功的公式即可求得电场力所做的功；
（3）根据电场力和重力的性质，利用动能定理列式，明确电场力做功的大小的决定因素，再根据牛顿第二定律列式，联立即可求得最小力的大小和方向，再根据功的公式即可求得功的大小．

解答 解：（1）因为电场力沿斜面向下，所以加电场后，弹力和摩擦力大小均不变，因此无电场时：
根据速度和位移关系可得：：v²-0=2aL=2×$\frac{1}{5}$gL
根据动能定理有：mgLsin$α-\\;fL$fL=$\frac{1}{2}$mv²
加电场后，同理有：
v₁²=2a'L=2×$\frac{6}{5}$gL
W₁+mgLsin$α-\\;fL$fL=$\frac{1}{2}$mv₁²
联立解得：W₁=mgL
（2）无电场时，根据牛顿第二定律有：mgsinα-f=ma=m$\frac{1}{5}g$
摩擦力f=μmgcosα
解得μ=0.5
加水平向左电场后
由牛顿第二定律得：
Fcosα+mgsinα-f'=ma'=m$\frac{6}{5}$g
摩擦力f‘=μN’
在垂直斜面方向上有：N'+Fsinα=mgcosα
联立解得：F=$\frac{10}{11}$mg
根据功的公式可得：W₂=FLcosα=$\frac{8}{11}$mgL
（3）无论加何方向电场，总有：
v₁²=2a'L=2×$\frac{6}{5}$gL
W₃+mgLsin$α-\\;fL$fL=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：W₃=$\frac{1}{2}$mv₁²-mgLsin$α-\\;fL$fL
式中=$\frac{1}{2}$mv₁²和mgLsinα为定值，因此要使电场力做功最少，应使摩擦力做功最小，而摩擦力做功最小值为零，此时N=0，f=0；
因此电场力斜向左上，设与斜面夹角为θ
则有：F'cosθ+mgsinα=ma’=m$\frac{6g}{5}$
F'sinθ=mgcosα
联立解得：
F'=mg
则电场强度E'=$\frac{mg}{q}$
θ=53°
电场力所做的功最小值W3min=F'Lcosθ=$\frac{3}{5}$mgL
答：（1）若电场方向沿斜面向下，则电场力做功为mgL
（2）若电场方向水平向左，则电场力做功为$\frac{8}{11}$mgL
（3）若要使电场力做功最小，则电场强度的大小为$\frac{mg}{q}$，方向与斜面成53°斜向左上；该最小功为$\frac{3}{5}$mgL．

点评 本题考查带电粒子在电场和重力场中的运动情况，要注意正确分析受力情况，明确电场力对物体的摩擦力带来的影响，再根据题意正确选择物理规律求解即可．