Question

14．一放在光滑水平面上的平板车，高为0.2m，质量为3m，平板车停靠在一光滑的四分之一圆弧轨道旁，平板车上表面刚好与圆弧轨道的最低点相切，一质量为m的物块从圆弧轨道上某点由静止释放，滑到圆弧轨道最低点时，对轨道的压力为2mg，物块滑上平板车后，再从平板车的右端滑离落到地面上时，离平板车右端的距离为s=$\frac{2}{15}$m．已知物块与平板车间的动摩擦因数为μ=0.2，圆弧轨道的半径为R=0.4m，重力加速度为g=10m/s²，求：
（1）物块在平板车上运动的时间及平板车的长度；
（2）若在右侧足够远处放置一障碍物，车与障碍物碰撞后能以与碰撞前大小相等的速度返回，改变物块从圆弧轨道上下滑的高度，结果物块滑上平板车、平板车与障碍物碰撞后返回，且物块都不会从平板车上掉下，求物块在平板车上两次相对滑动的时间之比．

Answer 1

分析 （1）物块经过圆弧轨道最低点时，由合力提供向心力，根据向心力公式求出物块经过圆弧轨道最低点时的速度．物块在平板车上滑行时做匀减速运动，平板车做匀加速运动，根据牛顿第二定律求出两者的加速度，根据速度时间公式可得到物块滑离平板车时两者速度之差．物块离开平板车后做平抛运动，由高度求得时间，再由位移公式列式求物块在平板车上运动的时间．物块在平板车上滑行时，由功能关系求平板车的长度．
（2）由于障碍物在右侧足够远，所以车与障碍物碰撞前物块和车已达到共同速度．由速度关系及速度公式列式，即可求得物块在平板车上两次相对滑动的时间之比．

解答 解：（1）物块经过圆弧轨道最低点时，由牛顿第二定律得：
   N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
据题  N=2mg
解得 v₁=$\sqrt{gR}$
设物块从平板车上滑离时的速度为v₂，平板车的速度为v₃．物块在平板车上运动的时间为t₁．
由于物块在平板车上做匀减速运动，则有  v₂=v₁-a₁t₁．
对平板车有 v₃=a₂t₁．
对物块和平板车分别进行受力分析，由牛顿第二定律得：
    a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²．
    a₂=$\frac{μmg}{3m}$=$\frac{1}{3}$μg=$\frac{2}{3}$m/s²．
综上可得 v₁-v₂=3v₃．
设物块掉下平板车后运动的时间为t₂，则有 （v₂-v₃）t₂=s
又 h=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
联立解得 v₂=1m/s，v₃=$\frac{1}{3}$m/s
物块在平板车上运动的时间 t₁=$\frac{{v}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$s=0.5s
物块在平板车上滑行时，由功能关系有
    μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-（$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+$\frac{1}{2}×3m{v}_{3}^{2}$）
解得，平板车的长度 L=$\frac{2}{3}$m
（2）由于障碍物在右侧足够远处，因此车和障碍物相碰前物块与车已达共同速度．
设物块从滑上平板车到第一次与平板车有共同速度所用时间为${t}_{1}^{′}$，则
    第一次达到的共同速度为 ${v}_{1}^{′}$=a₂${t}_{1}^{′}$
与障碍物碰撞后，再次达到共同速度，则有  为 ${v}_{1}^{′}$-a₂t₂′=-（${v}_{1}^{′}$-a₁t₂′）
得物块在平板车上两次相对滑动的时间之比 $\frac{{t}_{1}^{′}}{{t}_{2}^{′}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2{a}_{2}}$=2
答：
（1）物块在平板车上运动的时间是0.5s，平板车的长度是$\frac{2}{3}$m．
（2）物块在平板车上两次相对滑动的时间之比是2：1．

点评 解决本题的关键是要分析物块与平板车的运动情况，抓住两者相对运动时的速度关系、位移关系和时间关系是解题的关键．要知道平抛运动的时间是由高度决定的．