Question

16．如图所示，半径为R的半球形陶罐固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过容器球心O的竖直线重合，转台以一定角速度ω匀速旋转．有两个质量均为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，两小物块都随陶罐一起转动且相对罐壁静止，两物块和球心O点的连线相互垂直，且A物块和球心O点的连线与竖直方向的夹角θ=60°，已知重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　）

• A． 若A物块受到的摩擦力恰好为零，B物块受到的摩擦力的大小为$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{2}$
• B． 若A物块受到的摩擦力恰好为零，B物块受到的摩擦力的大小为$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{4}$
• C． 若B物块受到的摩擦力恰好为零，A物块受到的摩擦力的大小为$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{4}$
• D． 若B物块受到的摩擦力恰好为零，A物块受到的摩擦力的大小为$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{2}$

Answer 1

分析 A物块受到的摩擦力恰好为零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，结合角速度的大小建立等式；分析此时B物体摩擦力的方向，重力和支持力的合力不够提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向下，根据牛顿第二定律求出摩擦力的大小；同理分析CD项．

解答 解：AB、当A摩擦力恰为零时，物块与圆心连线与竖直方向的夹角为60⁰，受力如上图所示，根据牛顿第二定律得：mgtan60°=mrω²
r=Rsin60°
此时B滑块有沿斜面向上滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向下，受力如下图所示．
竖直方向上：Ncos30°-fsin30°-mg=0
水平方向上：Nsin30°+fcos30°=mr′ω²
r′=Rsin30°，
联立解得：f=$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{2}$，故A正确，B错误；
CD、同理当B摩擦力恰为零时，物块与圆心连线与竖直方向的夹角为30⁰，根据牛顿第二定律得：
mgtan30°=mrω²
r=Rsin30°
此时A滑块有沿斜面向下滑的趋势，摩擦力沿罐壁切线向上，
竖直方向上：Ncos60°+fsin60°-mg=0
水平方向上：Nsin60°-fcos60°=mr′ω²
r′=Rsin60°，
联立解得：f=$\frac{（\sqrt{3}-1）mg}{2}$，故C错误，D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律，抓住竖直方向上合力为零，水平方向上的合力提供向心力进行求解．