Question

10．弹簧在学校组织的趣味运动会上，某科技小组为大家提供了一个寓学于乐的游戏．如图所示，将一质量为0.1kg的钢球放在O点，用弹射装置将其弹出，其实沿着光滑的半环形轨道OA和AB运动，BC段为一段长为L=2.0m的粗糙平面，DEFG为接球槽．圆弧OA和AB的半径分别为r=0.2m，R=0.4m，小球与BC段的动摩擦因数为μ=0.7，C点离接球槽的高度为h=1.25m，水平距离为x=0.5m，接球槽足够大，g取10m/s²．求：
（1）要使钢球恰好不脱离圆轨道，钢球在A点的速度多大？
（2）在B位置对半圆轨道的压力多大？
（3）要使钢球最终能落入槽中，弹射速度v₀至少多大？

Answer 1

分析 （1）要使钢球恰好不脱离圆轨道，钢球在A点由重力提供向心力，可求解速度；
（2）从A到B根据动能定理求解B点的速度，在B位置时，对钢球根据牛顿第二定律求解支持力，再根据牛顿第三定律得到压力大小；
（3）钢球刚好落入槽中时做平抛运动，分解为两个方向的运动求解经过C点的速度，从O到C点，根据动能定理有求解v₀，

解答 解：（1）要使钢球恰好不脱离圆轨道，钢球在A点有：$mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$
解得：${v}_{A}=\sqrt{gr}=\sqrt{2}m/s$
（2）从A到B根据动能定理有：$mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在B位置时，对钢球：${F}_{B}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
联立解得：F_B=5.5N
根据牛顿第三定律，钢球对半圆轨道的压力为5.5N；
（3）使钢球刚好落入槽中时对钢球：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
解得：v_C=1m/s
从O到C点，根据动能定理有：
$mgR-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{21}m/s$
故要使钢球最终能落入槽中，弹射速度v₀至少为$\sqrt{21}m/s$．
答：（1）要使钢球恰好不脱离圆轨道，钢球在A点的速度为$\sqrt{2}m/s$；
（2）在B位置对半圆轨道的压为5.5N；
（3）要使钢球最终能落入槽中，弹射速度v₀至少为$\sqrt{21}m/s$．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律及平抛运动的综合运用，知道最高点和最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解．