Question

15．如图所示，两个半径为R的四分之一圆弧构成的光滑细管道ABC竖直放置，且固定在光滑水平面上，圆心连线O₁O₂水平，轻弹簧左端固定在竖直挡板上，右端与质量为m的小球相连，轨道右端有一薄板，薄板左端D到管道右道C的水平距离为R，开始时弹簧处于锁定状态，具有的弹性势能为3mgR，其中g为重力加速度，现解除锁定，小球离开弹簧后进入管道，最后从C点抛出．
（1）求小球经过C点时的动能；
（2）求小球经过C点时对管道的压力；
（3）讨论弹簧锁定时弹性势能应满足什么条件，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可以求出小球的动能；
（2）小球做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出弹力大小，再根据牛顿第三定律可得压力；
（3）小球离开C后做平抛运动，由能量守恒定律求出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）解除弹簧锁定后小球运动到C点过程，弹簧和小球系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：3mgR=2mgR+E_k
解得：E_k=mgR
（2）小球过C时的动能为：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR$
在C点由牛顿第二定律得：$mg+F=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=mg       
由牛顿第三定律得：F'=F=mg，方向竖直向上 
（3）小球离开C点做平抛运动，竖直方向：2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x₁=v₁t               
若要小球击中薄板，应满足：R≤x₁≤2R  
弹簧的弹性势能：${E}_{P}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$         
弹性势能E_P满足：$\frac{17}{8}mgR≤{E}_{P}≤\frac{5}{2}mgR$时，小球才能击中薄板．
答：（1）求小球经过C点时的动能为mgR；
（2）求小球经过C点时对管道的压力大小为mg，方向竖直向上；
（3）弹性势能满足：$\frac{17}{8}mgR≤{E}_{P}≤\frac{5}{2}mgR$时，从C点抛出的小球才能击中薄板DE．

点评 本题考查了求小球的动能、弹力、弹簧的弹性势能，分析清楚小球的运动过程，应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、平抛运动规律即可正确解题．