Question

20．如图所示，将一均匀导线围成一圆心角为90°的扇形导线框OMN，其中OM=R，线框总电阻为r，圆弧MN的圆心为O点，将导线框的O点置于直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B．从t=0时刻开始，让导线框以O点为圆心，以恒定的角速度ω沿逆时针方向做匀速圆周运动，则线框中的电流有效值为（　　）

• A． $\frac{Bω{R}^{2}}{2r}$
• B． $\frac{3Bω{R}^{2}}{2r}$
• C． $\frac{2Bω{R}^{2}}{r}$
• D． $\frac{\sqrt{5}Bω{R}^{2}}{2r}$

Answer 1

分析 根据转动切割磁感线感应电动势公式求出每条半径切割磁感线时产生的感应电动势，分段由闭合电路欧姆定律求出感应电流，画出电流随时间变化关系图象，根据有效值的定义求解．

解答 解：设电流逆时针方向为正方向；
在0-t时间内，线框从图示位置开始（t=0）转过90°的过程中，产生的感应电动势为：E₁=$\frac{1}{2}$Bω•R²；由闭合电路欧姆定律得，回路电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{r}$=$\frac{Bω{R}^{2}}{2r}$．根据楞次定律判断可知，线框中感应电流方向沿逆时针．
在t-2t时间内，线框进入第3象限的过程中，回路电流方向为顺时针．回路中产生的感应电动势为：E₂=$\frac{1}{2}$Bω•R²⁺$\frac{1}{2}$×2Bω•R²=$\frac{3}{2}$Bω•R²=3E₁；感应电流为：I₂=3I₁=$\frac{3Bω{R}^{2}}{2r}$；
在2t-3t时间内，线框进入第3象限的过程中，回路电流方向为顺时针．回路中产生的感应电动势为：E₃=$\frac{1}{2}$Bω•R²⁺$\frac{1}{2}$×2Bω•R²=$\frac{3}{2}$Bω•R²=3E₁；感应电流为：I₃=3I₁=$\frac{3Bω{R}^{2}}{2r}$；
在3t-4t时间内，线框出第4象限的过程中，回路电流方向为顺时针．回路中产生的感应电动势为：E₄=$\frac{1}{2}$Bω•R²；由闭合电路欧姆定律得，回路电流为：I₄=$\frac{{E}_{1}}{r}$=$\frac{Bω{R}^{2}}{2r}$．根据楞次定律判断可知，线框中感应电流方向沿顺时针；由此得到电流强度随时间的变化关系如图所示．

根据有效值的定义可得：I²r•4t=I${\;}_{1}^{2}$rt+I${\;}_{2}^{2}$rt+I${\;}_{3}^{2}$rt+I${\;}_{4}^{2}$rt，解得电流有效值I=$\frac{\sqrt{5}Bω{R}^{2}}{2r}$，所以ABC错误、D正确．
故选：D．

点评 本题主要是考查了法拉第电磁感应定律和有效值的计算；对于导体切割磁感应线产生的感应电动势情况有两种：一是导体平动切割产生的感应电动势，可以根据E=BLv来计算；二是导体棒转动切割磁感应线产生的感应电动势，可以根据E=$\frac{1}{2}B{r}^{2}ω$来计算．