Question

16．如图，三个质点a、b、c质量分别为m₁、m₂、M（M＞＞m₁，M＞＞m₂）．在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比T_a：T_b=1：k．从图示位置开始，在b运动一周的过程中（　　）

• A． a、b距离最近的次数为k次
• B． a、b距离最近的次数为k-1次
• C． a、b、c共线的次数为2k
• D． a、b、c共线的次数为2k-2

Answer 1

分析 质点a、b均在c点的万有引力的作用下绕c做圆周运动，根据周期比，每多转半圈，三质点共线一次，可先求出多转半圈的时间，与总时间相比，得出三点共线次数．

解答 解：A、设每隔时间T，a、b相距最近，则（ω_a-ω_b）T=2π，所以有：
T=$\frac{2π}{{{ω}_{a}-ω}_{b}}$=$\frac{{{T}_{b}T}_{a}}{{{T}_{b}-T}_{a}}$
故b运动一周的过程中，a、b相距最近的次数为：n=$\frac{{T}_{b}}{T}$=k-1
即a、b距离最近的次数为k-1次，故A错误，B正确；
C、设每隔时间t，a、b、c共线一次，则（ω_a-ω_b）t=π，所以有：t=$\frac{π}{{{ω}_{a}-ω}_{b}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{{{T}_{b}T}_{a}}{{{T}_{b}-T}_{a}}$；
故b运动一周的过程中，a、b、c共线的次数为：n=$\frac{{T}_{b}}{t}$=2k-2．
故a、b、c共线的次数为2k-2，故C错误，D正确．
故选：BD．

点评 本题主要考查圆周运动的概念，以及的角速度与周期之间的关系，解决这样的问题，最好画画草图，寻找角度与周期之间的关系．