题目内容

4．如图甲所示，PQ为磁场与电场的分界线，匀强电场分布在xoy平面第一象限PQ分界线与y轴之间区域，方向沿y轴负向，在PQ与MN之间存在如图乙所示周期性变化的匀强磁场，PQ、MN与y轴平行．一带正电粒子以v0=5$\sqrt{3}$×104m/s的速度从y轴上c点垂直于y轴飞入电场区域，经过x轴上a点进入磁场区域，又从x轴上b点飞出磁场区，粒子刚进入磁场区域时刻记为t=0，规定垂直xoy平面向里为磁场正方向，已知带电粒子比荷为$\frac{q}{m}$=108c/kg，重力不计，oc=0.25m，oa=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，ab=0.6m，周期性变化磁场的磁感应强度B0=10-2T，求：
（1）带电粒子进入磁场的速度v；
（2）变化磁场的周期（T）及粒子从c至b飞行时间t．

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住等时性求出竖直分速度，从而根据平行四边形定则求出进入磁场的速度大小和方向．
（2）根据半径公式和周期公式求出粒子在磁场中的半径和周期，作出运动的轨迹，根据半径的大小得出磁场变化的周期与粒子在磁场中运动周期的关系，从而求出c到b的时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，有：v0t=xOa，$\frac{{v}_{y}}{2}t={x}_{OC}$，
联立两式解得${v}_{y}=5×1{0}^{4}m/s$，
则粒子进入磁场的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$，代入数据解得v=10×104=105m/s，
则粒子进入磁场时与x轴的夹角正弦值$sinθ=\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{1}{2}$，解得θ=30°．
（2）粒子在磁场中做圆周运动的半径r=$\frac{mv}{q{B}_{0}}=\frac{1{0}^{5}}{1{0}^{8}×1{0}^{-2}}m=0.1m$，
粒子在磁场中运动的周期T′=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}=\frac{2π}{1{0}^{8}×1{0}^{-2}}=2π×1{0}^{-6}s$，
轨迹如图所示，圆心角为60度，
由题意可知，$\frac{T}{2}=\frac{60}{360°}T′$，解得T=$\frac{2π}{3}×1{0}^{-6}s$．
圆弧与x轴相交的弦长d=r=0.1m，
因为xab=6d，
所以粒子从c到b的时间t=3T=2π×10-6s．
答：（1）带电粒子进入磁场的速度为105m/s．
（2）变化磁场的周期为$\frac{2π}{3}×1{0}^{-6}s$，粒子从c至b飞行时间为2π×10-6s．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，掌握处理类平抛运动的方法，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解，对于粒子在磁场中的运动，关键确定圆心、半径和圆心角，结合几何关系进行求解．

练习册系列答案
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