Question

14．如图所示（截面图），质量为M的直角三棱柱A放在粗糙的水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，斜面倾角为θ．一质量为m的均匀光滑圆柱体放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，试求：
（1）地面对三棱柱的支持力和摩擦力的大小．
（2）若将A水平向左推动一点点后撤去推力，A和B能否静止不动．
（3）若要A和B静止不动，则地面与三棱柱之间的动摩擦因数应满足什么条件？（可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

Answer 1

分析 （1）以小球B为研究对象，分析受力情况，作出力图，由平衡条件得到墙壁和斜面对小球的支持力．
（2）结合（1）的结论，分析将A水平向左推动一点点后的情况；
（3）再对球和斜面整体研究，根据平衡条件，求解动摩擦因数应满足什么条件．

解答 解：（1）选取A和B的整体为研究对象，它受到重力（M+m）g，地面的支持力F_N，墙壁的弹力F和地面的摩擦力f的作用处于平衡状态，如图乙所示．
根据平衡条件有：F_N-（M+m）=0
F=f
可得：F_N=（M+m）g
再以B为研究对象，它受到重力、三棱柱对它的支持力F_AB、墙壁对它的弹力F的作用处于平衡状态，如图丙所示，根据平衡条件，有：
在竖直方向上，有：F_ABcosθ=mg
在水平方向上，有：F_ABsinθ=F　
解得：F=mgtanθ，所以有：f=F=mgtanθ．
（2）若将A向左推动一点点后撤去推力，由于A、B的受力情况（大小和方向）均不变，所以A和B仍能静止不动．
（3）将A、B看成一个整体，受到的摩擦力应小于或等于滑动摩擦力，有：
mgtanθ≤μ（m+M）g
所以：μ≥$\frac{m}{m+M}$．
答：（1）地面对三棱柱的支持力是（M+m）g，摩擦力的大小是mgtanθ．
（2）若将A水平向左推动一点点后撤去推力，A和B能否静止不动．
（3）若要A和B静止不动，则地面与三棱柱之间的动摩擦因数应满足μ≥$\frac{m}{m+M}$．

点评 正确选择研究对象，对其受力分析，运用平衡条件列出平衡等式解题．要注意多个物体在一起时，研究对象的选取．