Question

4．如图所示，真空中竖直条形区域工存在垂直纸面向外的匀强磁场，条形区域Ⅱ存在水平向左的匀强电场，磁场和电场宽度均为L且足够长，图中虚线是磁场与电场的分界线．M、N为涂有荧光物质的竖直板，质子打在M、N板上被吸附而发出荧光．现有一束质子从A处以速度v连续不断地射入磁场，入射方向与M板成60．夹角且与纸面平行，已知质子质量为m，电量为q，不计质子重力和相互作用力，求：
（1）若质子垂直打在N板上，I区磁场的磁感应强度B₁；
（2）在第（1）问中，调节电场强度的大小，N板上的亮斑刚好消失时的场强E；
（3）若区域Ⅱ的电场强度E=$\frac{{m{v^2}}}{8qL}$，要使M板出现亮斑，I区磁场的最小磁感应强度B₂．

Answer 1

分析 （1）若质子垂直打在N板上，质子出磁场时必须与磁场的右边界垂直，画出质子在磁场中的运动轨迹，由几何关系求出轨迹半径，由牛顿第二定律求磁感应强度B₁；
（2）要使N板上的亮斑恰好消失，质子进入电场后须做匀减速直线运动，到达N板的速度恰好为零．由动能定理求场强E；
（3）设质子从磁场进入电场时速度方向与虚线边界间的夹角为θ，进入电场后做类斜上抛运动，当质子刚要达到N板时，沿电场线方向速度减小为零，如图所示，此时质子恰好能返回磁场打在M板上产生亮班，而此时的磁感应强度最小．研究电场中沿电场线方向的运动，由动能定理求出θ．根据几何关系求出磁场中轨迹半径，即可求解I区磁场的最小磁感应强度B₂．

解答 解：（1）质子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得 r=$\frac{mv}{qB}$
若质子垂直打在N板上，质子出磁场时必须与磁场的右边界垂直，画出质子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系得
  r₁cos60°=L，得 r₁=2L
则由r=$\frac{mv}{qB}$得，I区磁场的磁感应强度 B₁=$\frac{mv}{q{r}_{1}}$=$\frac{mv}{2qL}$
（2）质子进入电场后逆着电场线做匀减速直线运动，调节电场强度的大小，N板上的亮斑刚好消失时，质子的速度刚好减为零，由动能定理得：
-qEL=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
则得N板上的亮斑刚好消失时的场强 E=$\frac{m{v}^{2}}{2qL}$
（3）设质子从磁场进入电场时速度方向与虚线边界间的夹角为θ，进入电场后做类斜上抛运动，当质子刚要达到N板时，沿电场线方向速度减小为零，如图所示，此时质子恰好能返回磁场打在M板上产生亮班，而此时的磁感应强度最小．
沿电场方向，由动能定理得：-qEL=0-$\frac{1}{2}m（vsinθ）^{2}$，得 θ=30°
在磁场中，由几何关系知，r₂sin60°+r₂sin30°=L，得 r₂=（$\sqrt{3}$-1）L
故Ⅰ区域磁场的最小磁感应强度为 B₂=$\frac{mv}{q{r}_{2}}$=$\frac{（\sqrt{3}+1）mv}{2qL}$
答：
（1）若质子垂直打在N板上，I区磁场的磁感应强度B₁为$\frac{mv}{2qL}$；
（2）在第（1）问中，调节电场强度的大小，N板上的亮斑刚好消失时的场强E为$\frac{m{v}^{2}}{2qL}$；
（3）若区域Ⅱ的电场强度E=$\frac{{m{v^2}}}{8qL}$，要使M板出现亮斑，I区磁场的最小磁感应强度B₂为$\frac{（\sqrt{3}+1）mv}{2qL}$．

点评 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，须“画圆弧、定圆心、求半径”．同时利用几何关系来确定半径大小．要根据题意作出临界轨迹是基本能力，要加强训练，提供解题能力．