Question

9．如图所示，半径为R的圆是圆柱形区域的横截面，c为圆心，在圆上a点有一粒子源能以相同的速率向圆面内各个方向发射质量为m、电荷量为q 的带正电粒子．当柱形区域存在垂直于圆面、磁感应强度大小为B的匀强磁场时，沿ac方向射入的粒子从b 点离开场区，此过程粒子速度方向偏转了$\frac{2π}{3}$．若只将柱形区域内的磁场换成平行于圆面的匀强电场，粒子从电场中射出的最大动能是初动能的4倍，经过b点的粒子在 b点的动能是初动能的3倍．不计粒子重力及粒子间的相互作用．求：
（1）粒子源发射粒子的速率v₀及从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的最长时间t_m；
（2）电场强度的方向及大小．

Answer 1

分析 （1）画出运动轨迹，根据几何知识求解半径，根据qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$求解初速度，根据圆心角和周期求解时间；
（2）设电场方向与ab连线夹角为θ，离开电场时动能最大的粒子的射出点和C点连线一定和电场方向平行．画出图象，根据动能定理列式求解即可．

解答 解：（1）粒子在磁场中作匀速圆周运动，设轨迹圆半径为r，作出以ab为弦的两段圆弧如图2所示，O₁、O₂分别为两圆圆心，由从b点射出的粒子速度偏转角知：对以O₁为圆心的圆有：圆周角∠aO₁b=$\frac{2π}{3}$，由几何知识可知：弦切角∠cab=$\frac{π}{3}$，△abC为等边三角形，可得ab长度L=R①
从△abO₁可得：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R②
由圆周运动的规律有：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$③
由⑧⑨式可得：v₀=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$④
粒子在磁场中运动时间最长时的轨迹是以O₂为圆心的圆弧，在菱形aO₁bO₂中有：∠aO₂b=∠aO₁b=$\frac{2π}{3}$
粒子的偏转角θ=2π-∠aO₂b⑤
由圆周运动的规律有：t_m=$\frac{θr}{{v}_{0}}$ ⑥
解得：t_m=$\frac{4πm}{3qB}$
（2）设电场方向与ab连线夹角为θ，离开电场时动能最大的粒子的射出点和C点连线一定和电场方向平行，如右图所示．
在粒子从a运动到b点过程中由动能定理有：
qERcosθ=2×3×$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$⑦
对离开电场时动能最大的粒子在电场中由动能定理有：
qER[1+sin（θ+$\frac{π}{6}$）]=3×$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$⑧
由④⑦⑧式解得：θ=0 （即电场方向由a指向b）
E=$\frac{{B}^{2}qR}{3m}$ 
或θ满足sinθ=-$\frac{4}{7}\sqrt{3}$
E=$\frac{7{B}^{2}qR}{3m}$
答：（1）粒子源发射粒子的速率v₀=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；从b点离开磁场的粒子在磁场中运动的最长时间t_m=$\frac{4πm}{3qB}$；（2）θ=0 （即电场方向由a指向b）E=$\frac{{B}^{2}qR}{3m}$ 或θ满足sinθ=-$\frac{4}{7}\sqrt{3}$大小为E=$\frac{7{B}^{2}qR}{3m}$．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，画出运动轨迹图，熟练掌握圆周运动及平抛运动的基本公式，难度适中．