Question

20．如图所示，一个半径为R的$\frac{1}{4}$透明球体放在水平面上，一束单色光从A点水平射入$\frac{1}{4}$球体，恰好没有从圆弧面射出，已知OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R
（i）球体对该单色光的折射率；
（ii）若光在真空中的传播速度为c，那么，请推导出光从进入球体到离开球体所需时间t的表达式（用c，R表示）．

Answer 1

分析 （i）单色光从A点水平射入$\frac{1}{4}$球体，恰好没有从圆弧面射出，说明恰好发生了全反射，入射角等于临界角，根据几何关系求出临界角，由sinC=$\frac{1}{n}$求折射率．
（ii）由几何知识求出光在球体内传播的距离，由v=$\frac{c}{n}$求光在球体内传播的传播速度，即可求得传播时间．

解答 解：（i）入射光在球体内的光路如图所示，已知OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，设单色光在圆弧球面的入射角为α，由几何关系可得有

  sinα=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
得 α=45°
由于恰好没有从圆弧面射出，入射角α等于临界角C，即 C=45°
由sinC=$\frac{1}{n}$得：n=$\sqrt{2}$
（ii）光在球体内传播的距离为 S=$\frac{\sqrt{2}}{2}$R+$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=$\sqrt{2}$R
光在球体内传播的传播速度 v=$\frac{c}{n}$
所以光从进入球体到离开球体所需时间 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{2R}{c}$
答：
（i）球体对该单色光的折射率是$\sqrt{2}$；
（ii）光从进入球体到离开球体所需时间t的表达式是 t=$\frac{2R}{c}$．

点评 本题要熟练掌握光的折射定律和全反射条件，结合几何知识，即可研究这类问题．