Question

6．如图，光滑的水平面上有两枚铁钉A和B，A、B相距0.1m，长1m的柔软细绳栓在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细绳拉紧，给小球以2m/s的垂直细绳方向的水平速度，使小球作圆周运动，由于钉子B的存在，使得细绳慢慢地缠在A、B上．若绳能承受的最大拉力为4.1N．整个过程小球速度大小不变．球：
（1）刚开始运动时小球受到的拉力大小？
（2）小球刚开始做匀速圆周运动周期大小？
（3）从小球开始运动到细绳断所用的时间？（保留3位有效数值）

Answer 1

分析 （1）根据F=$\frac{m{v}^{2}}{r}$求得绳子的拉力
（2）根据T=$\frac{2πL}{v}$求得周期
（3）根据向心力的来源求出每经过半个周期拉力的大小的表达式，以及每半个周期时间的表达式，结合数学知识分析求解总时间

解答 解：（1）根据牛顿第二定律可知：
$F=\frac{m{v}^{2}}{L}=\frac{0.5×{2}^{2}}{1}N=2N$
（2）圆周运动的周期为：
T=$\frac{2πL}{v}=\frac{2π×1}{2}s=πs$
（3）在小球做匀速圆周运动的过程中，由于细绳不断缠在A、B上，其轨道半径逐渐减小．
小球受到的绳子的拉力提供向心力，即F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，且F随R的减小而增大，而运动的半个周期 t=$\frac{πr}{\;}v$随绳长的减小而减小．推算出每个半周期的时间及周期数，就可求出总时间．根据绳子能承受的最大拉力，可求出细绳拉断所经历的时间．
设AB间距离为d．
在第一个半周期内：F₁=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，t₁=$\frac{πL}{v}$
在第二个半周期内：F₂=m$\frac{{v}^{2}}{L-d}$，t₂=$\frac{π（L-d）}{v}$
在第三个半周期内：F₃=m$\frac{{v}^{2}}{L-2d}$，t₃=$\frac{π（L-2d）}{v}$
…
依此类推，在第n个半周期内：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{L-（n-1）d}$，t₃=$\frac{π[L-（n-1）d]}{v}$
由于$\frac{L}{d}=\frac{1}{0.1}=10$，所以n≤10
设在第x个半周期时：F_x=4.1N
由F_x=m$\frac{{v}^{2}}{L-（x-1）d}$代入数据得：
4.1=0.5×$\frac{{2}^{2}}{1-（x-1）×0.1}$
解得：x=5.2，取x=5．
代入第1题表达式得：t=t₁+t₂+t₃+…+t₅=$\frac{π（5L-d-2d-3d-4d）}{v}$=7.07s
答：（1）刚开始运动时小球受到的拉力大小为2N
（2）小球刚开始做匀速圆周运动周期大小为πs
（3）从小球开始运动到细绳断所用的时间为7.07s

点评 本题是物理数列类型，结合圆周运动向心力的来源，通过数学知识求出拉力和时间的通项表达式是解决本题的关键．