Question

16．如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到与O同一水平线时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，求：
（1）Q球转动的角速度ω；
（2）Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值．

Answer 1

分析 （1）小球P自由下落的高度是h，下落时间为t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．要使两球在圆周的最高点相碰，在小球P下落h高度的时间内，Q球转过时间为t=nT+$\frac{T}{4}$（n=0，1，2，3…），T=$\frac{2π}{ω}$，求解角速度ω．
（2）根据角速度与周期的关系即可求出周期，结合条件判断出最大值．

解答 解：（1）小球P自由落体运动的时间为t，则有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
Q球运动到最高点的可能时间为：$t′=\frac{T}{4}+nT=（\frac{1}{4}+n）\frac{2π}{ω}$，（n=0，1，2，3…）
由于t=t'
解得，角速度$ω=2π（\frac{1}{4}+n）\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）
（2）根据公式：T=$\frac{2π}{ω}$
所以：T=$\frac{4}{4n+1}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$（n=0，1，2，3…）
当n取0时，周期最大，最大值为：$4\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）Q球转动的角速度ω为$2π（\frac{1}{4}+n）\sqrt{\frac{g}{2h}}$（n=0，1，2，3…）；
（2）Q球做匀速圆周运动的周期为$\frac{4}{4n+1}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$（n=0，1，2，3…），其最大值为$4\sqrt{\frac{2h}{g}}$．

点评 本题关键要抓住两球运动的同时性和圆周运动的周期性；得到的角速度是通项，不是一个特殊值．