Question

18．目前磁卡已有广泛的应用，如图甲所示，当记录磁性信息的磁卡以速度v在刷卡器插槽里匀速运动时，穿过刷卡器内线圈的磁通量按Φ=Φ₀sinkvt规律变化，刷卡器内置线圈等效电路如图乙所示，已知线圈的匝数为n，电阻为r，外接电路的等效电阻为R．
（1）求线圈两端的电压U；
（2）若磁卡在刷卡器中运动的有效距离为l，则刷卡一次线圈上产生的热量Q为多少？
（3）在任意一段△t=$\frac{π}{2kv}$的时间内，通过等效电阻R的电荷量的最大值q_m为多少？

Answer 1

分析 （1）应用法拉第电磁感应定律求出感应电动势，并求出感应电动势的有效值，求出回路电流，再由欧姆定律得线圈两端的电压；
（2）根据焦耳定律求出线圈中的焦耳热；
（3）根据q=$\overline{I}t$和$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$推导出$q=n\frac{△Φ}{R+r}$，求出通过等效电阻R上的电荷量的最大值${q}_{m}^{\;}$

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，有$E=n\frac{△Φ}{△t}$=$n{Φ}_{0}^{\;}kvcoskvt$
所以感应电动势的最大值${E}_{m}^{\;}=nkv{Φ}_{0}^{\;}$
电动势的有效值$E=\frac{{E}_{m}^{\;}}{\sqrt{2}}=\frac{nkv{Φ}_{0}^{\;}}{\sqrt{2}}$
根据欧姆定律：E=I（R+r）
线圈两端的电压即电阻R两端的电压U=IR
代入解得：$U=\frac{n{Φ}_{0}^{\;}kv}{\sqrt{2}（r+R）}R$
（2）根据焦耳定律$Q={I}_{\;}^{2}rt$
运动时间$t=\frac{l}{v}$
代入解得：$Q=\frac{{n}_{\;}^{2}{Φ}_{0}^{2}{k}_{\;}^{2}vrl}{2（r+R）_{\;}^{2}}$
（3）电量$q=\overline{I}t$
平均电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
平均感应电动势$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$
联立得$q=n\frac{△Φ}{r+R}$=$n\frac{{Φ}_{0}^{\;}sin（kvt+\frac{π}{2}）-{Φ}_{0}^{\;}sinkvt}{r+R}$=$n\frac{\sqrt{2}{Φ}_{0}^{\;}sin（kvt+φ）}{r+R}$
所以${q}_{m}^{\;}=n\frac{\sqrt{2}{Φ}_{0}^{\;}}{r+R}$
答：（1）线圈两端的电压U为$\frac{n{Φ}_{0}^{\;}kv}{\sqrt{2}（r+R）}R$；
（2）若磁卡在刷卡器中运动的有效距离为l，则刷卡一次线圈上产生的热量Q为$\frac{{n}_{\;}^{2}{Φ}_{0}^{2}{k}_{\;}^{2}vrl}{2（r+R）_{\;}^{2}}$
（3）在任意一段△t=$\frac{π}{2kv}$的时间内，通过等效电阻R的电荷量的最大值q_m为$n\frac{\sqrt{2}{Φ}_{0}^{\;}}{r+R}$

点评 本题考查对电磁感应中感生电动势的求解，交变电流的最大值和有效值的运用，交变电路中焦耳热的求解和电荷量的计算．