Question

6．如图 （甲）所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ=30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L=0.2m．M、P两点间接有阻值为R=1Ω的电阻．一根质量为m=0.01Kg的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B=0.5T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦，g=10m/s²．

（1）由b向a方向看到的装置如图 （乙）所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v=2m/s时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．
（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．
（4）当ab杆的速度最大时，流过ab杆某一横截面的电量为q=1.25C，求电阻R在这一过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）分析金属棒的受力情况画出受力示意图；
（2）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律求解感应电流，根据牛顿第二定律求解加速度大小；
（3）当ab杆稳定下滑时速度达到最大值受力平衡，根据平衡条件求解最大速度；
（4）根据电荷量的计算公式求解位移，由能量转化及守恒定律求解产生的焦耳热．

解答 解：（1）金属杆下滑过程中受到的力有：重力mg，竖直向下；支持力F_N，垂直斜面向上；根据左手定则可知安培力F平行斜面向上，如图所示         

（2）当ab杆速度为v时，感应电动势为：E=BLv=0.5×0.2×2V=0.2V   
变化闭合电路的欧姆定律可得感应电流I=$\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$=$\frac{0.2}{1}$A=0.2A，
解得电路中电流I═0.2A，
ab杆受到的安培力F=BIL=0.5×0.2×0.2N=0.02N，
根据牛顿运动定律，有ma=mgsinθ-F
解得a=3m/s²；
（3）当ab杆稳定下滑时速度达到最大值，此时a=0；
即mgsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=0，
解得v_m═$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$=5m/s；
（4）设ab杆在这一过程中下滑的距离为x，由电荷量的计算公式可得：q=$\overline{I}t$=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLx}{R}$，
由能量转化及守恒定律知：Q=mgxsinθ-$\frac{1}{2}$mv_m²
代入数据得Q=0.5J．
答：（1）ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图见解析．
（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v=2m/s时，此时ab杆中的电流大小为0.2A，加速度的大小为3m/s²．
（3）在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值为5m/s．
（4）电阻R在这一过程中产生的焦耳热为0.5J．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．