Question

1．如图所示，质量为m的跨接杆可以无摩擦地沿水平的平行导轨滑行，两轨间宽为L，导轨与电阻R连接，放在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B．杆从x轴原点以大小为v₀、水平向右的初速度滑行，直至停止，已知杆在整个运动过程中速度v和位移x的函数关系是v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x．杆及导轨的电阻均不计．
（1）试求杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式；
（2）证明杆在整个运动过程中动能的增量△E_k等于安培力所做的功W_F；
（3）求出杆在整个运动过程上通过电阻R的电量．

Answer 1

分析 （1）杆向右滑行时切割磁感线，产生感应电动势，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL结合推导安培力的表达式．
（2）根据题干中v与x的函数关系式，分析安培力F与x的关系，若是线性关系，安培力的平均值等于开始时与末了时安培力的算术平均值，即可求出安培力做功，分析与动能增量的关系．
（3）根据电荷量的计算公式结合法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律联立求解．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得感应电流I=$\frac{BLv}{R}$
根据安培力的计算公式可得F=BIL，
解得安培力F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}x）$；
（2）由v=v₀-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$x得，当v=0时，棒运动的位移为x=$\frac{mR{v}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$
由于F与x成线性关系，安培力的平均值为F_平均=$\frac{{F}_{0}+{F}_{t}}{2}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$
则安培力做功为：W=-F_平均x=-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
根据动能定理可得△E_k=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
故杆在整个运动过程中动能的增量△E_K等于安培力所做的功；
（3）根据电荷量的计算公式q=It可得：
q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLx}{R}$，
棒运动的位移为x=$\frac{mR{v}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$
解得q=$\frac{m{v}_{0}}{BL}$．
答：（1）杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式为F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R}（{v}_{0}-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}x）$；
（2）证明见解析；
（3）杆在整个运动过程上通过电阻R的电量为$\frac{m{v}_{0}}{BL}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．