Question

7．如图所示，一长为L、密度为ρ的细棒，其下端系有一根细线，细线的另一端被拴在杯底的O处，细棒竖直浸没在杯中的液体内，液体的密度为ρ₀．现打开杯底的阀门，使液体缓慢流出．当细棒至少露出液面L（1-$\sqrt{\frac{ρ}{{ρ}_{0}}}$）长度时，细棒可能会出现倾斜．

Answer 1

分析 以细棒的下端为支点，细棒能否倾斜取决于重力和浮力．根据细棒在重力和浮力的作用判断出细棒的可能转动情况，再利用杠杆平衡条件求出细棒刚刚倾斜时细棒浸在水中的长度，即可求得细棒露出液面的长度．

解答 解：设细棒的横截面积为S，细棒浸没在水中的长度为L_浸，当细棒露出液面一定长度时，细棒有可能倾倒，如图所示，则细棒AB为一根杠杆，B点为支点．
则重力G的力臂为 L₁=$\frac{1}{2}L$sinθ，浮力F_浮的力臂为 L₂=$\frac{1}{2}$L_浸sinθ
当细棒露出较少时，有 GL₁＜F_浮L₂，细棒竖直浸没在杯中的液体内．
当细棒露出较多时，有 GL₁＞F_浮L₂，细棒倾斜．
因此当GL₁=F_浮L₂，细棒将开始倾斜．
则有：ρgLS•$\frac{1}{2}L$sinθ=ρ₀gL_浸S•$\frac{1}{2}$L_浸sinθ
即得：ρL²=ρ₀L_浸²．
所以有：L_浸=L$\sqrt{\frac{ρ}{{ρ}_{0}}}$
则细棒露出液面的最小长度为：L_露=L-L_浸=L（1-$\sqrt{\frac{ρ}{{ρ}_{0}}}$）
故答案为：L（1-$\sqrt{\frac{ρ}{{ρ}_{0}}}$）．

点评 本题是杠杆平衡条件和浮力的实际应用问题，关键是找出与之对应的物理模型，确定支点，分析各个力的力臂．