Question

19．如图所示为快递常用的皮带传输装置，由水平传送带AB与倾斜传送带CD组成，B、C相距很近，倾斜传送带与水平方向间的夹角为θ=37°，现将一质量m=1kg的滑块（可视为质点）无初速地放在水平传送带的A端，已知AB两端相距L_AB=3m，CD两端相距L_CD=4.45m，水平传送带AB以恒定速率v₀=5m/s顺时针转动，滑块与传送带间的动摩擦因数均为?=0.5，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求当滑块运动到B端时的速度v_B； 
（2）若倾斜传送带CD不运转，求滑块沿倾斜传送带CD所能上升的最大距离d；
（3）若要使滑块能被传送到D端，求倾斜传送带CD的速率v_CD应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）A在摩擦力作用下做匀加速运动，根据位移速度关系求得到达B时的速度；
（2）根据动能定理求得滑块沿倾斜传送逞CD所能上升的最大距离d；
（3）滑块到D点时的速度最小为0，根据条件求解传送带速率的范围．

解答 解：（1）滑块在AB上加速时的加速度a₀=$\frac{μmg}{m}$=5m/s²
当滑块速度达到v₀=5m/s时，
滑行的距离s₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}=\frac{{5}^{2}}{2×5}m=2.5m$＜AB=3m，
因此滑块在到达B点之前就有了与传送带相同的速度，此后滑块与传送带一起匀速至B，故到达B点时的速度v_B=v₀=5m/s 
（2）设滑块在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入数据得a=10 m/s²
所以能滑上的最大距离d=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×10}m$=1.25m；
（3）设CD部分运转速度为v₁时滑块恰能到达D点（即米袋到达D点时速度恰好为零），则滑块速度减为v₁之前的加速度为
a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
滑块速度小于v₁至减为零前的加速度为
a₂=-g（sinθ-μcosθ）=-2 m/s²
由$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{B}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{0-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=4.45m
代入数据可解得 v₁=4m/s，即要把滑块送到D点，CD部分的速度
v_CD≥v₁=4m/s
答：（1）当滑块运动到B端时的速度v_B为5m/s；
（2）若倾斜传送带CD不运转，滑块沿倾斜传送带CD所能上升的最大距离d为1.25m；
（3）若要使滑块能被传送到D端，倾斜传送带CD的速率v_CD应满足的条件为大于等于4m/s．

点评 本题难点在于通过分析题意找出临条界件，注意滑块在CD段所可能做的运动情况，从而分析得出题目中的临界值为到达D点时速度恰好为零；本题的难度较大．