题目内容

10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向里的圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E．一粒子源固定在x轴上的A（-L，0）点，沿y轴正方向释放电子，电子经电场偏转后能通过y轴上的C（0，2$\sqrt{3}$L）点，再经过磁场偏转后恰好垂直击中ON，ON与x轴正方向成30°角．已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用，求：
（1）电子的释放速度v的大小；
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ；
（3）圆形磁场的最小半径Rmin．

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，x方向匀速，y方向匀加速，根据运动学公式列式求解；
（2）先根据运动学公式列式求解出x、y方向的分速度，然后根据几何关系列式求解；也可以根据类似平抛运动速度偏转角的正切是位移偏转角正切的2倍直接求解；
（3）先根据洛伦兹力提供向心力求解出轨迹的半径，然后画出轨迹图，确定磁场的最小半径．

解答 解：（1）粒子在垂直电场方向上做匀速直线运动，在沿电场方向上做匀加速直线运动，
有：$2\sqrt{3}L=vt$，
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{eE}{m}{t}^{2}$，
联立两式解得v=$\frac{2\sqrt{3}L}{\sqrt{\frac{2mL}{eE}}}$．
（2）设电子到达C点的速度大小为vc，方向与y轴正方向的夹角为θ．
根据类平抛运动的规律有：$vt=2\sqrt{3}L$，$\frac{{v}_{x}}{2}t=L$，
tanθ=$\frac{{v}_{x}}{v}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得θ=30°．
${v}_{C}=\frac{v}{cos30°}=\frac{2\sqrt{2EeLm}}{m}$．
（3）粒子的轨迹如图所示，根据几何关系知，∠QO1P=120°，
根据$R=\frac{m{v}_{C}}{qB}$得，R=$\frac{2\sqrt{2EemL}}{Be}$．
根据几何关系知，磁场区域的最小半径Rmin=$Rcos30°=\frac{2\sqrt{2EemL}}{Be}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6meEL}}{eB}$．
答：（1）电子的释放速度v的大小为$\frac{2\sqrt{3}L}{\sqrt{\frac{2mL}{eE}}}$；
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ为30度；
（3）圆形磁场的最小半径为$\frac{\sqrt{6meEL}}{eB}$．

点评 本题中粒子先在电场中做类似平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，要注意两个轨迹的连接点，然后根据运动学公式和牛顿第二定律以及几何关系列式求解，其中画出轨迹是关键．

练习册系列答案
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15．如图所示，宽度为d的双边界有界磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B．一质量为m、带电量为+q的带电粒子（不计重力）从MN边界上的A点沿纸面垂直MN以初速度v0进人磁场．已知该带电粒子的比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{2Bd}$．其中A′为PQ上的一点，且AA′与PQ垂直．则下列判断正确的是（　　）
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19．如图所示为快递常用的皮带传输装置，由水平传送带AB与倾斜传送带CD组成，B、C相距很近，倾斜传送带与水平方向间的夹角为θ=37°，现将一质量m=1kg的滑块（可视为质点）无初速地放在水平传送带的A端，已知AB两端相距LAB=3m，CD两端相距LCD=4.45m，水平传送带AB以恒定速率v0=5m/s顺时针转动，滑块与传送带间的动摩擦因数均为?=0.5，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
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