题目内容
9．
有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的．如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的k倍（k＞1）．当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R．以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变．已知地球表面的重力加速度为g．（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小；
（2）若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能Ep=-$\frac{GMm}{r}$，式中G为引力常量．在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，其动能和引力势能之和保持不变；探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和也保持不变．
①求探测器刚离开飞船时的速度大小；
②已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比．根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足什么条件．
分析 （1）飞船在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，根据万有引力等于向心力列式；在地面，根据重力等于万有引力列式；最后联立求解即可；
（2）①探测器飞行过程中动能和势能之和守恒，根据守恒定律列式求解即可；
②发射探测器过程中，探测器和飞船系统的动量守恒，根据守恒定律列式；飞船运动过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律列式；再根据飞船通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比列式；最后联立求解即可．
解答 解：（1）设地球质量为M，飞船质量为m，探测器质量为m'，当飞船与探测器一起绕地球做圆周运动时的速度为v0
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
$\frac{GM（m+m'）}{{{{（kR）}^2}}}=（m+m'）\frac{v_0^2}{kR}$
对于地面附近的质量为m0的物体有：
m0g=$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}$
解得：
${v_0}=\sqrt{\frac{gR}{k}}$
（2）①设探测器被发射出时的速度为v'，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以探测器刚好脱离地球引力应满足：
$\frac{1}{2}m'{v'^2}-\frac{GMm'}{kR}=0$
解得：
$v'=\sqrt{\frac{2GM}{kR}}=\sqrt{2}{v_0}=\sqrt{\frac{2gR}{k}}$
②设发射探测器后飞船在A点的速度为vA，运动到B点的速度为vB，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以有：
$\frac{1}{2}mv_B^2-\frac{GMm}{R}=\frac{1}{2}mv_A^2-\frac{GMm}{kR}$
对于飞船发射探测器的过程，根据动量守恒定律有：
（m+m'）v0=mvA+m'v'
因飞船通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比，即：
RvB=kRvA
解得：
$\frac{m}{m'}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{{1-\sqrt{\frac{2}{k+1}\;}}}$
答：（1）飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小为$\sqrt{\frac{gR}{k}}$；
（2）①求探测器刚离开飞船时的速度大小为$\sqrt{\frac{2gR}{k}}$；
②为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足条件为$\frac{m}{m′}=\frac{\sqrt{2}-1}{1-\sqrt{\frac{2}{k+1}\\;}}$．
点评 本题第一问比较基础，根据卫星的万有引力等于向心力、地面物体的重力等于万有引力列式求解；第二问要综合运用动量守恒定律、机械能守恒定律和牛顿第二定律列式求解，关键理清过程的运动情况和能量与动量情况．
备战中考寒假系列答案
| A． | 交流发电机的转速为100r/s | |
| B． | 灯泡的额定电压为220$\sqrt{2}$V | |
| C． | 变压器原线圈中电流表的示数为1A | |
| D． | t=0.01s时刻穿过线框回路的磁通量为$\frac{\sqrt{2}}{π}$×10-3Wb |
| A． | 8m/s 向右传播 | B． | 8m/s 向左传播 | C． | 24m/s 向右传播 | D． | 24m/s 向左传播 |
有一根长陶瓷管，其表面均匀地镀有一层很薄的电阻膜，管的两端有导电箍M和N，如图所示．用多用表电阻档测得MN间的电阻膜的电阻约为100，陶瓷管的直径远大于电阻膜的厚度．某同学利用下列器材设计了一个测量该电阻膜厚度d的实验．
如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标（-L，0），MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点（0，0.5L）射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从矩形有界磁场边界上Q点（$\frac{\sqrt{3}l}{6}$，-l）射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力，求：
如图所示，吊环运动员将吊绳与竖直方向分开相同的角度，重力大小为G的运动员静止时，左边绳子张力为T1，右边绳子张力为T2．则下列说法正确的是（ ）| A． | T1和 T2是一对作用力与反作用力 | |
| B． | 运动员两手缓慢撑开时，T1和 T2都会变小 | |
| C． | T2一定大于G | |
| D． | T1+T2=G |
设B、C为两列横波的波源，它们在同种介质中传播，其振动表达式分别为yB=0.1cos（2πt） cm和yC=0.1cos（2πt+π）cm，发出的波的传播方向如图中的虚线所示，2s末P点开始起振．它们传到P点时相遇，$\overline{PB}$=40cm，$\overline{PC}$=50cm．试求：