题目内容

14．如图，在直角坐标系xOy平面内，虚线MN平行于y轴，N点坐标（-L，0），MN与y轴之间有沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限的某区域有方向垂直于坐标平面的矩形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一质量为m、电荷量为e的电子，从虚线MN上的P点，以平行于x轴正方向的初速度v0射入电场，并从y轴上A点（0，0.5L）射出电场，射出时速度方向与y轴负方向成30°角，此后，电子做匀速直线运动，进入磁场并从矩形有界磁场边界上Q点（$\frac{\sqrt{3}l}{6}$，-l）射出，速度沿x轴负方向，不计电子重力，求：
（1）匀强电场的电场强度E的大小；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小和电子在磁场中运动的时间t；
（3）矩形有界匀强磁场区域的最小面积Smin．

分析 （1）根据电场力提供合力使其做类平抛运动，由牛顿第二定律，结合运动学公式从而即可求解E；
（2）由几何关系可确定OD的距离，再由运动的分解可列出速度间的关系式，最后由运动轨迹的半径与周期公式，借助于已知长度，来确定磁场的B与运动的时间；
（3）以切点F，Q的连线长为矩形的一条边，与电子的运动轨迹相切的另一边作为其FQ的对边，有界匀强磁场区域面积为最小，从而根据几何的关系，并由面积公式即可求解．

解答 解：（1）设电子在电场中运动的加速度为a，时间为t，离开电场时，沿y轴方向的速度大小为vy，
则水平方向有  L=v0t
竖直方向有：加速度 a=$\frac{eE}{m}$，vy=at
据题有：vy=$\frac{{v}_{0}}{tan30°}$
解得：E=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{eL}$
（2）设轨迹与x轴的交点为D，OD距离为xD，
则xD=0.5Ltan30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$L
所以，DQ平行于y轴，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道的圆心在DQ上，电子运动轨迹如图所示．  
设电子离开电场时速度为v，在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，
则有 evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
又v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$
由几何关系有 r+$\frac{r}{sin30°}$=L，r=$\frac{L}{3}$ 
联立以上各式解得 B=$\frac{6m{v}_{0}}{eL}$
电子转过的圆心角为120°．则得 t=$\frac{T}{3}$
而T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{πL}{3{v}_{0}}$
得 t=$\frac{πL}{9{v}_{0}}$
（3）以切点F，Q的连线长为矩形的一条边，与电子的运动轨迹相切的另一边作为其FQ的对边，有界匀强磁场区域面积为最小．
  Smin=$\sqrt{3}$r×$\frac{r}{2}$
得 Smin=$\frac{\sqrt{3}{L}^{2}}{18}$
答：
（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{eL}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{6m{v}_{0}}{eL}$，电子在磁场中运动的时间t是$\frac{πL}{9{v}_{0}}$；
（3）矩形有界匀强磁场区域的最小面积Smin是$\frac{\sqrt{3}{L}^{2}}{18}$．

点评 粒子做类平抛时，由牛顿第二定律与运动学公式相结合来综合运用；在做匀速圆周运动时，由半径公式与几何关系来巧妙应用，从而培养学生在电学与力学综合解题的能力．注意区别磁场的圆形与运动的轨迹的圆形的半径不同．

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电流表A1（量程0～200mA，内阻约3Ω）；
电流表A2（量程0～0.6A，内阻约0.1Ω）；
滑动变阻器R1（0～10Ω）；
滑动变阻器R2（0～500Ω）；
电源E （电动势为3.0V，内阻不计）．
为了调节方便，测量准确，实验中电压表应选${V}_{1}^{\;}$，电流表应选${A}_{1}^{\;}$．为了使实验中电阻丝两端电压变化范围尽量大一些，且便于调节，滑动变阻器应选${R}_{1}^{\;}$；（选填器材的名称符号）
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（3）规定图示F1、F2方向作为力的正方向，分别求出F1、F2随时间t变化的函数关系；
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