Question

7．2016年9月25日，有着“超级天眼”之称的500米口径球面射电望远镜落成启用，为我国深空探索又推进了一大步．假如利用该“天眼”观察到两个未知天体A、B，其质量之比为M_A：M_B=2：3，半径之比为R_A：R_B=1：2，其周围各有一颗卫星，环绕天体A、B运行的卫星的轨道半径之比r_A：r_B=4：3，则下列选项正确的是（　　）

• A． 两卫星受到的万有引力之比F_A：F_B=3：8
• B． 两卫星运动的向心加速度之比a_A：a_B=3：8
• C． 天体A、B的第一宇宙速度之比v_A：v_B=2$\sqrt{3}$：3
• D． 天体A、B表面的重力加速度之比g_A：g_B=3：8

Answer 1

分析 卫星绕行星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，由此列式得到向心加速度、第一宇宙速度的表达式，再求解向心加速度之比和第一宇宙速度之比．根据物体在行星表面时重力等于万有引力，列式分析天体A、B表面的重力加速度之比．

解答 解：A、设环绕天体A、B运行的卫星的质量分别为m_A、m_B．
由万有引力定律得：两卫星受到的万有引力之比 F_A：F_B=G$\frac{{M}_{A}{m}_{A}}{{R}_{A}^{2}}$：G$\frac{{M}_{B}{m}_{B}}{{R}_{B}^{2}}$，由于m_A、m_B关系未知，所以不能求出F_A：F_B．故A错误．
B、卫星绕行星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，得：
  G$\frac{{M}_{A}{m}_{A}}{{r}_{A}^{2}}$=m_Aa_A，G$\frac{{M}_{B}{m}_{B}}{{r}_{B}^{2}}$=m_Ba_B．
可得 a_A=G$\frac{{M}_{A}}{{r}_{A}^{2}}$，a_B=G$\frac{{M}_{B}}{{r}_{B}^{2}}$
则a_A：a_B=G$\frac{{M}_{A}}{{r}_{A}^{2}}$：G$\frac{{M}_{B}}{{r}_{B}^{2}}$=3：8，故B正确．
C、根据万有引力等于向心力得：
   G$\frac{{M}_{A}m}{{R}_{A}^{2}}$=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{{R}_{A}}$，G$\frac{{M}_{B}m}{{R}_{B}^{2}}$=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{{R}_{B}}$
可得 v_A=$\sqrt{\frac{G{M}_{A}}{{R}_{A}}}$，v_B=$\sqrt{\frac{G{M}_{B}}{{R}_{B}}}$
可得  v_A：v_B=2$\sqrt{3}$：3．故C正确．
D、物体在行星表面时重力等于万有引力，则有
  G$\frac{{M}_{A}m}{{R}_{A}^{2}}$=mg_A，G$\frac{{M}_{B}m}{{R}_{B}^{2}}$=mg_B．
可得，天体A、B表面的重力加速度之比g_A：g_B=G$\frac{{M}_{A}}{{R}_{A}^{2}}$：G$\frac{{M}_{B}}{{R}_{B}^{2}}$=8：3，故D错误．
故选：BC

点评 对于卫星问题，关键是要熟练掌握万有引力提供卫星圆周运动的向心力，以及重力等于万有引力，并能写出向心力的不同表达式．