Question

9．真空中存在电场强度大小为E₁的匀强电场，一带电油滴在该电场中竖直向上做匀速直线运动，速度大小为v₀，在油滴处于位置A时，将电场强度的大小突然增大到某值，但保持其方向不变．持续一段时间t₁后，又突然将电场反向，但保持其大小不变；再持续同样一段时间后，油滴运动到B点．重力加速度大小为g．
（1）油滴运动到B点时的速度；
（2）求增大后的电场强度的大小；为保证后来的电场强度比原来的大，试给出相应的t₁和v₀应满足的条件．已知不存在电场时，油滴以初速度v₀做竖直上抛运动的最大高度恰好等于B、A两点间距离的两倍．

Answer 1

分析 （1）分析油滴的运动过程，可知其先进行向上的匀速直线运动，到达A处后因电场强度突然增大而开始做向上的匀加速直线运动，经过t₁后电场突然反向，油滴开始做匀减速直线运动，并可能在速度减为零后做反向的匀加速直线运动．对电场增大后的两个过程分别列出牛顿第二定律方程，即可求得两个过程中的加速度，而t₁又是一个已知量，那么直接使用运动学公式即可求出v_B的速度大小；
（2）因为油滴最后可能做反向的匀加速直线运动，因此我们不能确定B点的位置究竟在A点上方还是A点下方，故需要分为两种情况讨论．对其中每一种情况，根据运动学公式列出方程，并与竖直上抛的方程进行联立，即可分别求得两种情况下的场强E₂的大小；而根据题意，为求出t₁与v₀满足的条件，只需要使E₂＞E₁即可，那么就可以最终求得t₁与v₀间的关系式．

解答 解：（1）设油滴质量为m，带电荷量为q，增大后的电场强度为E₂，根据题中条件可以判断电场力与重力方向相反；
对于匀速运动阶段，有qE₁=mg…①
对于场强突然增大后的第一段t₁时间，由牛顿第二定律得：qE₂-mg=ma₁…②
对于场强第二段t₁时间，由牛顿第二定律得：qE₂+mg=ma₂ …③
由运动学公式，可得油滴在电场反向时的速度为：v₁=v₀+a₁t₁④
油滴在B的速度为：v_B=v₁-a₂t₁⑤
联立①至⑤式，可得：v_B=v₀-2gt₁；方向向上；
（2）设无电场时竖直上抛的最大高度为h，由运动学公式，有：v₀²=2gh…⑥
根据位移时间关系可得：v₀t₁+$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}={x}_{1}$…⑦
v₁t₁-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}={x}_{2}$…⑧
油滴运动有两种情况：
情况一：
位移之和x₁+x₂=$\frac{h}{2}$ ⑨
联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：
E₂=E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$
由题意得E₂＞E₁，即满足条件$\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}-\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}＜g$，即当$0＜{t}_{1}＜（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$或${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$才是可能的；
情况二：
位移之和x₁+x₂=-$\frac{h}{2}$  ⑩
联立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：
E₂=E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g-\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$
由题意得E₂＞E₁，即满足条件$\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}+\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}＜g$，即${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{5}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$，另一解为负，不合题意，舍去．
答：
（1）油滴运动到B点时的速度为v₀-2gt₁；
（2）增大后的电场强度的大小为E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$，t₁和v₀应满足的条件为$0＜{t}_{1}＜（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$或${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$；
或E₁+$\frac{{E}_{1}}{g}（g-\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}_{1}^{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}）$；相应的t₁和v₀应满足的条件为${t}_{1}＞（1+\frac{\sqrt{5}}{2}）\frac{{v}_{0}}{g}$．

点评 有关带电粒子在匀强电场中的运动，可以从两条线索展开：其一，力和运动的关系．根据带电粒子受力情况，用牛顿第二定律求出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度和位移等；其二，功和能的关系．根据电场力对带电粒子做功，引起带电粒子的能量发生变化，利用动能定理进行解答．