Question

1．如图，一半径为R的玻璃半球，O点是半球的球心，虚线OO′表示光轴（过球心O与半球底面垂直的直线）．已知玻璃的折射率为1.5．现有一束平行光垂直入射到半球的底面上，有些光线能从球面射出（不考虑被半球的内表面反射后的光线）．求：
（i）从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值；
（ii）距光轴$\frac{R}{3}$的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离．

Answer 1

分析 （1）由全反射定理得到可从球面射出的光线的范围．进而得到最大距离；
（2）由入射光线的位置得到入射角，进而得到折射光线，从而得到折射光线与光轴的交点到O点的距离．

解答 解：（i）如图，从底面上A处射入的光线，在球面上发生折射时的入射角为i，当i等于全反射临界角i_c时，对应入射光线到光轴的距离最大，设最大距离为l．
i=i_c
设n是玻璃的折射率，由全反射临界角的定义有
nsini_c=l
由几何关系有
sini=$\frac{l}{R}$
联立可得：l=$\frac{2}{3}$R

（ii）设与光轴相距$\frac{R}{3}$的光线在球面B点发生折射时的入射角和折射角分别为i₁和r₁，由折射定律有
nsini₁=sinr₁
设折射光线与光轴的交点为C，在△OBC中，由正弦定理有
$\frac{sin∠C}{R}=\frac{sin（180°-{r}_{1}）}{OC}$
由几何关系有
∠C=r₁-i₁
sini₁=$\frac{1}{3}$
联立可得：OC=$\frac{3（2\sqrt{2}+\sqrt{3}）}{5}$R≈2.74R．
答：（i）从球面射出的光线对应的入射光线到光轴距离的最大值为$\frac{2}{3}R$；
（ii）距光轴$\frac{R}{3}$的入射光线经球面折射后与光轴的交点到O点的距离2.74R．

点评 光能发生折射，即光不发生全反射，所以，入射角小于临界角，由此得到可发生折射的光线范围．