Question

6．宇航员到达某星球的表面，在一定的高度h以水平方向抛出一小球，初速为v，已知小球落地的速度为$\sqrt{2}$v，已知该星球半径为R，自传周期为T，求：
（1）在该星球上发射一颗环绕星球表面飞行的卫星所需要的速度？
（2）在该星球上发射一颗同步卫星，它距星球表面的高度应为多少？

Answer 1

分析 根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度，根据重力提供向心力求出发射的速度大小．
根据同步卫星的周期，根据万有引力提供向心力求出同步卫星的轨道半径，从而得出同步卫星的高度．

解答 解：（1）根据平行四边形定则知，落地时竖直分速度${v}_{y}=\sqrt{2{v}^{2}-{v}^{2}}=v$，
则星球表面的重力加速度g=$\frac{{v}^{2}}{2h}$．
根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{v}^{2}R}{2h}}$．
（2）同步卫星的周期与自转周期相等，
根据$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，GM=gR²得，
h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$=$\root{3}{\frac{{v}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$-R．
答：（1）在该星球上发射一颗环绕星球表面飞行的卫星所需要的速度为$\sqrt{\frac{{v}^{2}R}{2h}}$；
（2）它距星球表面的高度应为$\root{3}{\frac{{v}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$-R．

点评 本题考查了平抛运动与万有引力定律理论的综合，掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力．并能灵活运用．