Question

10．如图（a）所示，倾角为θ的浅色传送带以速率V逆时针匀速运动，t=0时刻将煤块放在传送带的A端，t=2.0s时煤块运动到传送带的B端，煤块运动的速度v随时间t变化的图象如图（b）所示．取重力加速度的大小g=10m/s²．
（1）求传送带的倾角θ以及煤块与传送带之间的动摩擦因数μ；
（2）若传送带以速率v₀=6m/s逆时针匀速运动，将煤块从距离A点s₀=2.5m处轻放上传送带的同时，由于故障原因，传送带立即以加速度a₀=4m/s²做匀速运动，请在图（c）中画出煤块轻放上传送带后传送带和煤块的v-t图象，并根据图象求出传送带上黑色痕迹的长度．
（3）若传送带逆时针匀速运动的速度v可以调节，试推导煤块从A端由静止运动到B端时的速度v_B随v变化关系式．

Answer 1

分析 （1）由v-t图象可以知道煤块先做匀加速直线运动，当速度达到传送带速度后，由于重力沿斜面向下的分力大于摩擦力，煤块继续向下做匀加速直线运动，对两个过程，由图象的斜率求得加速度．根据牛顿第二定律分别列式，可求出传送带的倾角θ和动摩擦因数．
（2）分段分析煤块的运动情况v-t图象，画出由运动学公式求出煤块和传送带的位移，得到它们间的相对位移，即可得到传送带上黑色痕迹的长度．
（3）讨论传送带的速度范围，分析煤块的运动情况，由运动学公式求解煤块从A端由静止运动到B端时的速度v_B随v变化关系式．

解答 解：（1）0～1s，煤块运动的加速度为：
a₁=$\frac{△{v}_{1}}{△{t}_{1}}$=$\frac{8}{1}$=8m/s²．
由牛顿运动定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁．
1～2s，煤块运动的加速度为：
a₂=$\frac{△{v}_{2}}{△{t}_{2}}$=$\frac{12-8}{1}$=4m/s²．
由牛顿运动定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂．
联立解得：θ=37°（或sinθ=0.6，或cosθ=0.8），μ=0.25
（2）作图思路：由图（b）知，0～2s内煤块的位移就是A、B之间的距离l，则：
l=$\frac{1}{2}$×8×1m+$\frac{1}{2}$×（8+12）×1m=14m
传送带匀速运动，煤块匀加速运动，经过时间t速度相同为v₁，即为：
v₁=v₀-a₀t=a₁t
解得：t=0.5s，v₁=4m/s
此过程中，煤块的位移为：
s₁=$\frac{{v}_{1}t}{2}$=$\frac{4×0.5}{2}$=1m
传送带又经过时间t′速度减为0，即：
0=v₀-a₀（t+t′）
解得：t′=1s
传送带静止后，煤块又经过时间△t运动至B端，由匀变速直线运动的规律得：
l-s₀-s₁=$\frac{1}{2}$[v₁+v₁+a₂（t′+△t）]
解得：△t=0.5s
传送带、煤块的v-t图象如图所示．

0～0.5s内，煤块相对传送带上滑的位移为阴影部分1的面积：△s₁=1.5m
0.5～2.0s内，煤块相对传送带下滑的位移为阴影部分2的面积，为：△s₂=8.5m
所以传送带上黑色痕迹的长度是8.5m．
（3）1°传送带的速度v≥4$\sqrt{14}$m/s时，煤块以加速度a₁匀加速到B，则
  ${v}_{B}^{2}$=2a₁l
解得 v_B=4$\sqrt{14}$m/s
2°传送带的速度在0≤v≤4$\sqrt{14}$m/s，煤块先加速度a₁匀加速到x，再以加速度a₂匀加速运动l-x．
则 v²=2a₁x
${v}_{B}^{2}$-v²=2a₂（l-x）
解得 v_B=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}+112}$m/s
答：（1）传送带的倾角θ是37°，煤块与传送带之间的动摩擦因数μ是0.25；
（2）在图（c）中画出煤块轻放上传送带后传送带和煤块的v-t图象如图，传送带上黑色痕迹的长度是8.5m．
（3）1°传送带的速度v≥4$\sqrt{14}$m/s时，v_B=4$\sqrt{14}$m/s.2°传送带的速度在0≤v≤4$\sqrt{14}$m/s时，v_B=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}+112}$m/s．

点评 解决本题的关键理清物块在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行研究，要灵活选择运动学公式．