Question

20．如图所示，小车质量为M，小车顶端为半径为R的四分之一光滑圆弧，质量为m的小球从圆弧顶端由静止释放，对此运动过程的分析，下列说法中正确的是（g为当地重力加速度）（　　）

• A． 若地面粗糙且小车能够静止不动，则地面对小车的静摩擦力最大为1.5mg
• B． 若地面粗糙且小车能够静止不动，则地面对小车的静摩擦力最大为2mg
• C． 若地面光滑，当小球滑到圆弧最低点时，小车速度为m$\sqrt{\frac{2gR}{M（M+m）}}$
• D． 若地面光滑，当小球滑到圆弧最低点时，小车速度为M$\sqrt{\frac{2gR}{m（M+m）}}$

Answer 1

分析 若地面粗糙且小车能够静止不动，因为小球只有重力做功，故小球机械能守恒，由机械能守恒可求得小球任一位置时的速度，由向心力公式可求得小球受到的支持力；
对小车受力分析可求得静摩擦力的最大值．
若地面光滑，小球下滑的过程中，小车向左运动，系统的水平动量守恒，系统的机械能也守恒，由此列式，可求得小球滑到圆弧最低点时小车的速度．

解答 解：AB、设圆弧半径为R，当小球运动到重力与半径夹角为θ时，速度为v．
根据机械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}$mv²=mgRcosθ
由牛顿第二定律有：
   N-mgcosθ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得小球对小车的压力为：N=3mgcosθ
其水平分量为 N_x=3mgcosθsinθ=$\frac{3}{2}$mgsin2θ
根据平衡条件，地面对小车的静摩擦力水平向右，大小为：f=N_x=$\frac{3}{2}$mgsin2θ
可以看出：当sin2θ=1，即θ=45°时，地面对车的静摩擦力最大，其值为f_max=$\frac{3}{2}$mg．故A正确，B错误．
CD、若地面光滑，当小球滑到圆弧最低点时，小车的速度设为v′，小球的速度设为v．
小球与小车组成的系统在水平方向动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：mv-Mv′=0
系统的机械能守恒，则得：mgR=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$Mv′²，
解得：v′=m$\sqrt{\frac{2gR}{M（M+m）}}$．故C正确，D错误．
故选：AC

点评 本题中地面光滑时，小车与小球组成的系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，但系统的总动量并不守恒．