【题目】已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆过点，抛物线的顶点为原点．

求椭圆和抛物线的方程；

设点P为抛物线准线上的任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

设直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值；

若直线AB交椭圆于C，D两点，，分别是，的面积，试问：是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

A.2B.3C.4D.5

A. B. C. D.

A.“”是“”的充分不必要条件

B.函数的最小值为2

C.当时，命题“若，则”为真命题

D.命题“，”的否定是“，”

【题目】已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求证：；

【题目】已知抛物线： 的焦点为圆的圆心.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若斜率的直线过抛物线的焦点与抛物线相交于两点，求弦长.

【答案】（1）;（2）8.

【解析】试题分析：（1）先求圆心得焦点,根据焦点得抛物线方程（2）先根据点斜式得直线方程,与抛物线联立方程组,利用韦达定理以及弦长公式得弦长.

试题解析：（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，

即焦点坐标为，得到抛物线的方程：

（2）直线： ，联立，得到

弦长

【题型】解答题
【结束】
19

【题目】已知函数在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间和极值.

【题目】已知是定义在上的偶函数，当时，.

（1）用分段函数形式写出的解析式；

（2）写出的单调区间；

（3）求出函数的最值.

【题目】已知抛物线的焦点曲线的一个焦点， 为坐标原点，点为抛物线上任意一点，过点作轴的平行线交抛物线的准线于，直线交抛物线于点.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

【答案】（I）；（II）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）将曲线化为标准方程，可求得的焦点坐标分别为，可得，所以，即抛物线的方程为；（Ⅱ）结合（Ⅰ），可设，得，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点.

试题解析：（Ⅰ）由曲线，化为标准方程可得， 所以曲线是焦点在轴上的双曲线，其中，故， 的焦点坐标分别为，因为抛物线的焦点坐标为，由题意知，所以，即抛物线的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线的准线方程为，设，显然.故，从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得，解得

①当，即时，直线的方程为，

②当，即时，直线的方程为，整理得的方程为，此时直线恒过定点， 也在直线的方程为上，故直线的方程恒过定点.

【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若数列满足， ，记的前项和为，求证： .

【题目】衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．

（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；

（2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列及数学期望．

【题目】在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.

如图1 如图2

（1）证明：平面平面；

（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。