题目内容
【题目】已知抛物线的焦点曲线
的一个焦点,
为坐标原点,点
为抛物线
上任意一点,过点
作
轴的平行线交抛物线的准线于
,直线
交抛物线于点
.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点
,并求出此定点的坐标.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)将曲线化为标准方程,可求得
的焦点坐标分别为
,可得
,所以
,即抛物线的方程为
;(Ⅱ)结合(Ⅰ),可设
,得
,从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
,解得
,直线
的方程为
,整理得
的方程为
,此时直线恒过定点
.
试题解析:(Ⅰ)由曲线,化为标准方程可得
, 所以曲线
是焦点在
轴上的双曲线,其中
,故
,
的焦点坐标分别为
,因为抛物线的焦点坐标为
,由题意知
,所以
,即抛物线的方程为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的准线方程为
,设
,显然
.故
,从而直线
的方程为
,联立直线与抛物线方程得
,解得
①当,即
时,直线
的方程为
,
②当,即
时,直线
的方程为
,整理得
的方程为
,此时直线恒过定点
,
也在直线
的方程为
上,故直线
的方程恒过定点
.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数
的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足
,
,记
的前
项和为
,求证:
.
【答案】(I);(II)
;(III)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)当
时,因为
,所以
显然不成立,先证明因此
时,
在
上恒成立,再证明当
时不满足题意,从而可得结果;(III)先求出等差数列的前
项和为
,结合(II)可得
,各式相加即可得结论.
试题解析:(Ⅰ)由,得
.所以
令,解得
或
(舍去),所以函数
的单调递减区间为
.
(Ⅱ)由得,
当时,因为
,所以
显然不成立,因此
.
令,则
,令
,得
.
当时,
,
,∴
,所以
,即有
.
因此时,
在
上恒成立.
②当时,
,
在
上为减函数,在
上为增函数,
∴,不满足题意.
综上,不等式在
上恒成立时,实数
的取值范围是
.
(III)证明:由知数列
是
的等差数列,所以
所以
由(Ⅱ)得, 在
上恒成立.
所以. 将以上各式左右两边分别相加,得
.因为
所以
所以.
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