【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，若点是曲线截直线所得线段的中点，求的斜率.

【题目】若函数为奇函数，且时有极小值.

（1）求实数的值；

（2）求实数的取值范围；

（3）若恒成立，求实数的取值范围.

【题目】定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中

（1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由；

（3）若数列是“数列”，是否存在正整数，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

【题目】如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从中剪裁出两块全等的圆形铁皮与做圆柱的底面，剪裁出一个矩形做圆柱的侧面（接缝忽略不计），为圆柱的一条母线，点在上，点在的一条直径上，，分别与直线、相切，都与内切.

（1）求圆形铁皮半径的取值范围；

（2）请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，为的倾斜角，且），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，曲线与交于两点，与交于点，且，求的普通方程.

【题目】如图，在三棱锥中，顶点在底面上的投影在棱上，，，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）已知点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

（1）函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；

（2）函数可以是某个圆的“太极函数”；

（3）若函数是某个圆的“太极函数”，则函数的图象一定是中心对称图形；

（4）对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个.

【题目】在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值．

【题目】已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.

（Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形，并说明理由.

【题目】已知函数．

(1)若，求函数的所有零点；

(2)若，证明函数不存在极值．