题目内容
【题目】如图,在三棱锥中,顶点
在底面
上的投影
在棱
上,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)已知点为
的中点,在棱
上是否存在点
,使得
平面
,若存在,求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)见解析(2)(3)存在,
【解析】
(1)由题知:平面
,所以平面
平面
,因为
,所以
平面
,所以
.又根据勾股定理得到
,所以
平面
.
(2)首先以为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,找到相应点的坐标,再分别求出平面
和平面
的法向量,带入公式计算即可.
(3)首先设,
,根据
平面
,得到
,即可求出
,再计算
即可.
(1)因为顶点在底面
上的射影
在棱
上,
所以平面
,
因为平面
,
所以平面平面
,
因为,所以
,
因为平面平面
,
平面
,所以
平面
,
又平面
,所以
,
由,
,
得,所以
,
因为且
平面
,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)连接,
因为为
的中点,
为
的中点,
,
所以,
如图,以为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系,
,
,
设为平面
的一个法向量,
则.取
,得
,
设平面的一个法向量
,
则,取
,则
.
设二面角的平面角为
,
则,
所以二面角的余弦值为
.
(3)设,
,
因为平面
,
所以,
,
所以,
,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校需从甲、乙两名学生中选一人参加物理竞赛,这两名学生最近5次的物理竞赛模拟成绩如下表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
学生甲的成绩(分) | 80 | 85 | 71 | 92 | 87 |
学生乙的成绩(分) | 90 | 76 | 75 | 92 | 82 |
(1)根据成绩的稳定性,现从甲、乙两名学生中选出一人参加物理竞赛,你认为选谁比较合适?
(2)若物理竞赛分为初赛和复赛,在初赛中有如下两种答题方案:方案1:每人从5道备选题中任意抽出1道,若答对,则可参加复赛,否则被淘汰;方案2:每人从5道备选题中任意抽出3道,若至少答对其中2道,则可参加复赛,否则被淘汰.若学生乙只会5道备选题中的3道,则学生乙选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大?
【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
年入流量 | |||
发电量最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?