题目内容
【题目】定义:若无穷数列满足
是公比为
的等比数列,则称数列
为“
数列”.设数列
中
(1)若,且数列
是“
数列”,求数列
的通项公式;
(2)设数列的前
项和为
,且
,请判断数列
是否为“
数列”,并说明理由;
(3)若数列是“
数列”,是否存在正整数
,使得
?若存在,请求出所有满足条件的正整数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)是“
数列”,证明见解析;(3)存在,
;
【解析】
(1)计算,故
是公比为1的等比数列,计算得到答案.
(2)是“
”数列,化简得到
,即
,得到证明.
(3)是公比为2的等比数列,
,利用累加法得到
,得到
,计算得到答案.
(1)由题意可得,
由数列为“
数列”可得
,即
,
则是公比为1的等比数列,即
,
则是首项为1,公差为3的等差数列,
;
(2)是“
”数列,,
理由如下:时,由
,可得
,
两式作差可得即
,
则,两式作差可得
,即
,
由,可得
,则
,
则对任意
成立,则
为首项是
,公比为3的等比软列,
则为
数列;
(3)由是
数列,可得
是公比为2的等比数列,
即,则
,由
,可得
,则
,
则,
则,若正整数
满足
,则
,
由,则
,则
,
若,则
,不满足
,
若,则
,则
,即
,
则,则正整数
,则
;
因此存在满足条件的.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目