题目内容
【题目】如图，是一块半径为4米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶.具体做法是从
中剪裁出两块全等的圆形铁皮
与
做圆柱的底面，剪裁出一个矩形
做圆柱的侧面（接缝忽略不计），
为圆柱的一条母线，点
在上，点
在的一条直径上，
，
分别与直线
、
相切，都与内切.
（1）求圆形铁皮半径的取值范围；
（2）请确定圆形铁皮与半径的值，使得油桶的体积最大.（不取近似值）
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）记
与
切于点
，记，
的半径为
，根据
得到
，解得答案.
（2）
，设
，求导得到单调性得到最值.
（1）记与切于点，记，的半径为，
则
，
，
要想围成圆柱，则，即，
解得
，即半径的取值范围为.
（2），
记，
，令
，得
，
所以当
时，
，
递增，
，
所以在定义域上，体积随着的增大而增大，所以时，体积最大.
【题目】某高校进行自主招生测试，报考学生有500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们测试的分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成4组：
，
，
，
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）根据频率分布直方图可以估计女生测试成绩的平均值为103.5，请你估计男生测试成绩的平均值，由此推断男、女生测试成绩的平均水平的高低；
（Ⅱ）若规定分数不小于110分的学生为“优秀生”，请你根据已知条件完成
列联表，并判断是否有
的把握认为“优秀生与性别有关”？
优秀生 | 非优秀生 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
参考公式：
，
.
参考数据：
P（ | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级 | 参赛人数 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
甲 | 45 | 83 | 86 | 85 | 82 |
乙 | 45 | 83 | 84 | 85 | 133 |
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分
分为优秀）；
③甲、乙两班成绩为85分的学生人数比成绩为其他值的学生人数多；
④乙班成绩波动比甲班小.
其中正确结论有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
