题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的所有零点;
(2)若,证明函数
不存在极值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)首先将代入函数解析式,求出函数的定义域,之后对函数求导,再对导函数求导,得到
(当且仅当
时取等号),从而得到函数
在
单调递增,至多有一个零点,因为
,
是函数
唯一的零点,从而求得结果;
(2)根据函数不存在极值的条件为函数在定义域上是单调函数,结合题中所给的参数的取值范围,得到在
上单调递增,从而证得结果.
(1)解:当 时,
,
函数的定义域为
,
且.
设,
则
.
当时,
;当
时,
,
即函数在
上单调递减,在
上单调递增,
所以当时,
(当且仅当
时取等号).
即当时,
(当且仅当
时取等号).
所以函数在
单调递增,至多有一个零点.
因为,
是函数
唯一的零点.
所以若,则函数
的所有零点只有
.
(2)证法1:因为,
函数的定义域为
,且
.
当时,
,
由(1)知.
即当时
,
所以在
上单调递增.
所以不存在极值.
证法2:因为,
函数的定义域为
,且
.
设,
则
.
设 ,则
与
同号.
当 时,由
,
解得,
.
可知当时,
,即
,当
时,
,即
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
由(1)知.
则.
所以,即
在定义域上单调递增.
所以不存在极值.
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