题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
,点
为
的中点.
(1)证明: ;
(2)设点在线段
上,且
平面
,若平面
平面
,求二面角
的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)要证明线线垂直,可先证明线面垂直,由是中点,可知
,又由
是锐角为
的菱形,可得
,从而有线面垂直,再得线线垂直;
(2)与平面
平行,则
与平面
内一条直线平行,由平面
平面
可得
两两垂直,以它们为轴可建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出二面角两个面的法向量,由法向量夹角可得二面角大小,其中在求平面
法向量时,平面
的一条直线的方向向量可用
代替.
试题解析:
(1)连接,
因为, 所以
为正三角形,又点
为
的中点,
所以.
又因为,
为
的中点,所以
.
又,
所以平面
,
又平面
,所以
.
(2)连接交
于
,连接
.
因为平面
,
平面
,平面
平面
,
所以,
由(1)知.
又平面平面
,交线
,
所以平面
,
以为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
设平面的一个法向量为
,
可得
因为,所以
得
,
由(Ⅰ)知平面
,则取平面
的一个法向量
,
故二面角的大小为
.
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