Question

1．已知函数 f（x）=4x²-4ax+（a²-2a+2）．
（1）若a=1，求f（x）在闭区间[0，2]上的值域；
（2）若f（x）在闭区间[0，2]上有最小值3，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到值域；
（2）将f（x）配方，求得对称轴，讨论区间和对称轴的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）$f（x）=4{x^2}-4x+1=4{（x-\frac{1}{2}）^2}$，
x=$\frac{1}{2}$时，取得最小值0，x=2时，取得最大值9，
∴f（x）在闭区间[0，2]上的值域为[0，9]；
（2）f（x）=4（x-$\frac{a}{2}$^）2+2-2a．
①当$\frac{a}{2}$＜0即a＜0时，f（x）_min=f（0）=a²-2a+2=3，解得：a=1-$\sqrt{2}$；
②0≤$\frac{a}{2}$≤2即0≤a≤4时，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=2-2a=3，解得：a=-$\frac{1}{2}$（舍）；
③$\frac{a}{2}$＞2即a＞4时，f（x）_min=f（2）=a²-10a+18=3，解得：a=5+$\sqrt{10}$．
综上可知：a的值为1-$\sqrt{2}$或5+$\sqrt{10}$．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于中档题．