Question

6．设命题p：?x∈R，x²-2x＞a；命题q：$?{x_0}∈R，{x_0}^2+2a{x_0}+2-a=0$．如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出关于p，q成立的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：关于命题p：?x∈R，x²-2x＞a，
∴a＜（x-1）²-1，
∴a＜-1，
故命题p为真时，a＜-1；
关于命题q：$?{x_0}∈R，{x_0}^2+2a{x_0}+2-a=0$，
∴△=4a²-4×（2-a）≥0，
∴a²+a-2≥0，
∴a≥1或a≤-2，
如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
p真q假时：$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-2＜a＜1}\end{array}\right.$，解得：-2＜a＜-1，
p假q真时：$\left\{\begin{array}{l}{a≥-1}\\{a≥1或a≤-2}\end{array}\right.$，解得：a≥1，
综上：a∈（-2，-1）∪[1，+∞）．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．