Question

【题目】设函数（其中）．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，讨论函数的零点个数．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)在定义域上只有唯一的零点.

【解析】试题分析：（1）由题意，求得，分类讨论，即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）值，再分和两种讨论，利用函数的图象，进而确定函数的零点个数．

试题解析：

（1）函数的定义域为，，

①当时，令，解得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，

②当时，令，解得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

③当时，，在上单调递增，

④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减；

（2），

①当时，，又在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，

在区间中，因为，

取，于是，

又在上单调递减，故在上也只有一个零点，

所以，函数在定义域上有两个零点；

②当时，在单调递增区间内，只有．

而在区间内，即在此区间内无零点．

所以，函数在定义域上只有唯一的零点．