题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
,点
在棱
上,且
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)是否存在实数,使得二面角
的余弦值为
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)由边长和勾股定理得,又平面
平面
,由定理证得
平面
(2) 建立空间直角坐标系, 得出平面
的一个法向量为
,设平面
的一个法向量为
,由题意计算得出结果
解析:(Ⅰ)过点作
交
于
,
,
,
四边形
为正方形,且
,
在中,
,在
中,
又平面平面
,平面
平面
平面
平面
,且
平面
(Ⅱ)
又平面平面
,平面
平面
平面
,
以点为坐标原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,
假设存在实数使得二面角
的余弦值为
,令
点
在棱
上,
设
则
,
平面
,
平面
的一个法向量为
设平面的一个法向量为
由得
令
得
取
化简得又
存在实数
使得二面角
的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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