题目内容
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
(
)的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左、右顶点,若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
、
.
①求证:;
②求面积的最大值.
【答案】(1) (2) ①见解析②
面积的最大值是
【解析】试题分析:(1)根据题意得,
,又
,即可得方程;
(2)①当时,显然
,满足题意;当
时,设
,
,直线
方程为
,代入椭圆方程,整理得
,由
,结合韦达定理即可得解;
②由结合韦达定理得
,利用均值不等式求最值即可.
试题解析:
(1)由题意可得,
令,可得
,即有
,
又,所以
,
.
所以椭圆的标准方程为;
(2)①当时,显然
,满足题意;
当时,设
,
,直线
方程为
,
代入椭圆方程,整理得,
则,所以
.
,
则
.
则,即
;
②
当且仅当,即
.(此时适合
的条件)取得等号.
则面积的最大值是
.
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