Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交直线于点．

（1）证明：三点共线；

（2）求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）由题意得右焦点的坐标为，设所在直线为：，且，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得，根据弦的中点为，得点的坐标，从而求出所在直线方程，再根据垂直于线段，可得所在的直线方程，即可求得点的坐标，进而通过点的坐标满足所在直线方程即可证出三点共线；（2）由（1）及弦长公式可得，再根据两点之间的距离公式可得，结合二次函数的图象及性质即可求出的最大值．

试题解析：（1）显然椭圆的右焦点的坐标为，

设所在直线为：，且．

联立方程组：，得：；

其中，

点的坐标为所在直线方程为：．

所在的直线方程为：，

联立方程组：，得点的坐标为，

点的坐标满足直线的方程，故三点共线；

（2）由（1）得：；

由点的坐标为，，

所以，

显然，

故当，即时，取得最大值．