题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)函数的图象与
的图象无公共点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数,使得对任意的
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,请求出整数
的最大值;若不存在,请说理由.
(参考数据:,
,
).
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)1
【解析】
试题分析:(Ⅰ)函数图象无公共点,可以转化为方程无实根,此方程可用分离参数法化为
无实根,从而只要求出函数
的值域即可,这可导数的知识求得;(Ⅱ)同样问题转化为“不等式
对
恒成立”,即
对
恒成立,因此问题转化为
求函数的最小值.
试题解析:(Ⅰ)函数与
无公共点,
等价于方程在
无解
令,则
令
得
+ | 0 | - | |
增 | 极大值 | 减 |
因为是唯一的极大值点,故
故要使方程在
无解,
当且仅当,故实数
的取值范围为
(Ⅱ)假设存在实数满足题意,则不等式
对
恒成立.
即对
恒成立.
令,则
,
令,则
,
∵在
上单调递增,
,
,
且的图象在
上连续,
∴存在,使得
,即
,则
,
∴ 当时,
单调递减;
当时,
单调递增,
则取到最小值
,
∴ ,即
在区间
内单调递增.
,
∴存在实数满足题意,且最大整数
的值为
.
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