题目内容
【题目】已知函数,
.(
为自然对数的底数)
(1)设;
①若函数在
处的切线过点
,求
的值;
②当时,若函数
在
上没有零点,求
的取值范围.
(2)设函数,且
,求证:当
时,
.
【答案】(1) ,
(2)见解析
【解析】试题分析:(1)①由和
可得在
处的切线方程,代入点
得
;
②当,可得
,讨论
和
时函数的单调性进而研究零点即可;
(2)等价于
,令
,求得求最值即可证得.
试题解析:
(1)①由题意,得,
所以函数在
处的切线斜率
,又
,
所以函数在
处的切线方程
,
将点代入,得
.
②当,可得
,因为
,所以
,
当时,
,函数
在
上单调递增,而
,
所以只需,解得
,从而
.
当时,由
,解得
,
当时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增.所以函数
在
上有最小值为
,
令,解得
,所以
. 综上所述,
.
(2)由题意,,
而等价于
.
令,
则,且
,
.
令,则
.
因为, 所以
,所以导数
在
上单调递增,
于是.
从而函数在
上单调递增,即
.
即当时,
.
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分组 | 回答正确的人数 | 回答正确的人数占本组的频率 | |
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 | |||
第 |
(1)分别求出,
,
,
的值;
(2)从第,
,
组回答正确的人中用分层抽样方法抽取
人,则第
,
,
组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取
人颁发幸运奖,求:所抽取的
人中至少有一个第
组的人的概率.