题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,四边形
为正方形,
平面
,
,
是
上一点,且
.
(1)求证: 平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)连接,由线面垂直的性质定理可得
,且
,故
平面
,
,又
,利用线面垂直的判断定理可得
平面
.
(2)法1:由(1)知平面
,即
是直线
与平面
所成角,设
,则
,
,
,结合几何关系计算可得
,即直线
与平面
所成角的正弦值为
.
法2:取为原点,直线
,
,
分别为
,
,
轴,建立坐标系
,不妨设
,结合(1)的结论可得平面
得法向量
,而
,据此计算可得直线
与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析:
(1)连接,由
平面
,
平面
得
,
又,
,
∴平面
,得
,
又,
,
∴平面
.
(2)法1:由(1)知平面
,即
是直线
与平面
所成角,易证
,而
,
不妨设,则
,
,
,
在中,由射影定理得
,
可得,所以
,
故直线与平面
所成角的正弦值为
.
法2:取为原点,直线
,
,
分别为
,
,
轴,建立坐标系
,不妨设
,则
,
,
,
由(1)知平面得法向量
,而
,
∴
.
故直线与平面
所成角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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