题目内容
【题目】若数列满足:存在正整数
,对任意的
,使得
成立,则称
为
阶稳增数列.
(1)若由正整数构成的数列为
阶稳增数列,且对任意
,数列
中恰有
个
,求
的值;
(2)设等比数列为
阶稳增数列且首项大于
,试求该数列公比
的取值范围;
(3)在(1)的条件下,令数列(其中
,常数
为正实数),设
为数列
的前
项和.若已知数列
极限存在,试求实数
的取值范围,并求出该极限值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设,由题意得出
,求出正整数
的值即可;
(2)根据定义可知等比数列中的奇数项构成的等比数列为
阶稳增数列,偶数项构成的等比数列也为
阶稳增数列,分
和
两种情况讨论,列出关于
的不等式,解出即可;
(3)求出,然后分
、
和
三种情况讨论,求出
,结合数列
的极限存在,求出实数
的取值范围.
(1)设,由于数列
为
阶稳增数列,则
,
对任意,数列
中恰有
个
,
则数列中的项依次为:
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
,
设数列中值为
的最大项数为
,
则,
由题意可得,即
,
,解得
,
因此,;
(2)由于等比数列为
阶稳增数列,即对任意的
,
,且
.
所以,等比数列中的奇数项构成的等比数列为
阶稳增数列,偶数项构成的等比数列也为
阶稳增数列.
①当时,则等比数列
中每项都为正数,由
可得
,整理得
,解得
;
②当时,
(i)若为正奇数,可设
,则
,
由,得
,即
,整理得
,解得
;
(ii)若为正偶数时,可设
,则
,
由,得
,即
,整理得
,解得
.
所以,当时,等比数列
为
阶稳增数列.
综上所述,实数的取值范围是
;
(3),由(1)知
,则
.
①当时,
,
,则
,
此时,数列的极限不存在;
②当时,
,
,
上式下式得
,
所以,,则
.
(i)若时,则
,此时数列
的极限不存在;
(ii)当时,
,
此时,数列的极限存在.
综上所述,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响,他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数,得到如下资料:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
温差 | 9 | 10 | 11 | 8 | 12 |
发芽数 | 38 | 30 | 24 | 41 | 17 |
利用散点图,可知线性相关。
(1)求出关于
的线性回归方程,若4月6日星夜温差
,请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数;
(2)若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据,求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.
(公式:)
【题目】2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取
人调查专项附加扣除的享受情况.
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为.享受情况如右表,其中“
”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 | A | B | C | D | E | F |
子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
继续教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
大病医疗 | × | × | × | ○ | × | × |
住房贷款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
赡养老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件
发生的概率.
【题目】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付方式 | (0,1000] | (1000,2000] | 大于2000 |
仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
【题目】今年的西部决赛勇士和火箭共进行了七场比赛,经历了残酷的“抢七”比赛,两队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表:
第一场 | 第二场 | 第三场 | 第四场 | 第五场 | 第六场 | 第七场 | |
库里 | 26 | 28 | 24 | 22 | 31 | 29 | 36 |
杜兰特 | 26 | 29 | 33 | 26 | 40 | 29 | 27 |
(1)绘制两人得分的茎叶图;
(2)分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.