Question

已知二次函数为常数）；.若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（I）函数f（x）的解析式为 
（Ⅱ）
（Ⅲ）当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．

（I）由图形 知：，
∴函数f（x）的解析式为…………………………4分
（Ⅱ）由
得
∵0≤t≤2
∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（…………………………6分
由定积分的几何意义知：


………………………………9分
（Ⅲ）令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数
当x∈（3，+∞）时，是增函数
当x=1或x=3时，
∴
………………………………12分
又因为当x→0时，
当
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

即
∴m=7或
∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．