题目内容
1．
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求$\frac{V_1}{V_2}$的值．
分析 （Ⅰ）证明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即可得出结论；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}BC•CD•PD$．由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V2=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE$=$\frac{1}{6}BC•CE•DE$．即可求$\frac{V_1}{V_2}$的值．
解答 （Ⅰ）证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因为ABCD为正方形，所以BC⊥CD，
因为PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因为DE?平面PCD，
所以BC⊥DE，
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE⊥PC，
因为PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，
即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（Ⅱ）由已知，PD是阳马P-ABCD的高，所以V1=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}BC•CD•PD$．
由（Ⅰ）知，DE是鳖臑D-BCE的高，BC⊥CE，
所以V2=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE$=$\frac{1}{6}BC•CE•DE$．
因为PD=CD，点E是PC的中点，
所以DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
所以$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}BC•CD•PD}{\frac{1}{6}BC•CE•DE}$=$\frac{2CD•PD}{CE•DE}$=4
点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
| A． | -1 | B． | -2 | C． | -5 | D． | 1 |
| A． | $\frac{3}{4}$+$\frac{1}{2π}$ | B． | $\frac{1}{2}$+$\frac{1}{π}$ | C． | $\frac{1}{2}$-$\frac{1}{π}$ | D． | $\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2π}$ |
| A． | x与y负相关，x与z负相关 | B． | x与y正相关，x与z正相关 | ||
| C． | x与y正相关，x与z负相关 | D． | x与y负相关，x与z正相关 |
| A． | （-1，3） | B． | （-1，0） | C． | （0，2） | D． | （2，3） |